有趣的数学的文章（与数学有关的创意文章） - 原点资讯

刘薰宇通过简要介绍运用“积弹法”公式求解金字塔问题即汤团的个数后，侧重讲解如何用归纳法证明四种堆积情况所用的不同的“积弹法”公式，以及怎样证明归纳法中第一步所要假定的公式。文中对归纳法第一步所要假定的公式的证明中用到了法国大数家巴士卡尔的“差级数”。

刘薰宇指出，根据已有的积弹法计算公式，计算总数确实很简单，但若不知道这些公式怎么办，他给出了求这些公式的方法——数学归纳法。该方法并非在文章开始进行论述，而是顺着读者的思路，抛出疑问，引领读者一步步求解，最后得到答案，令人印象深刻。

2.《数的启示》

该文是刘薰宇避开城市的喧嚣回到乡下老家居住时，回忆起童年时期与妹妹倚靠着母亲数数的故事，有感而发。由数的本身、数的变化的多样性引发关于人生的哲思。刘薰宇忆起童年时从未能数到100的恐惧到对1000是10个100的认识的兴奋；从祖父教他“三字经”“一而十，十而百，百而千，千而万……”使其数不清数而头昏，到上了小学学习了加减乘除后将人不能把数完全数清的恐惧深埋掉。

通过对孩童时期的回忆，他意识到人头脑中的数不过在10位左右，超过这个数，在人的感知里是和无限大没什么差别的。有些数我们可以用各种方法研究它，但它的面目我们却看不清，这令人感到特别奇特。例如，1906年，M.莫尔黑德（M. Morehead）发现不是质数，可以被整除。究竟是一个什么样的数？原则上，利用乘法运算法肯定可以写出这个具体的数。但实际上，人们是做不到的，因为这个数字的位数该有位，要比的位数还要多。假定对个宽1毫米的数排列，这个数排起来就有千米长，绕地球赤道会有圈；要把这个真实的数字写出来，假定一秒钟写一个数字，每天写10个小时，一年360天不间断地写，需要年，将此数分段由全世界个人同时来写，也需要13万年才能写完。如此大的数，多么令人惊异啊！

除了数本身令人惊异，刘薰宇指出数的变化同样令人吃惊。这类的例子很多，13万年也写不完的。他举了一个自己上学时同学们因吃饭选座位引发争执，当时由这个争执提出一个问题供大家讨论：“八个人围了一张八仙桌，调换着次序坐，究竟有多少法呢？”[5]大家各抒己见，但没有敢说到100次以上的。可最后经过计算发现竟然是40320种。8人在该校4年，假定一年365天（考虑四年一闰）每天8人都在一起围着八仙桌吃三餐，也只坐了其中的4383种，不及40320的1/9。

刘薰宇对此叹言，相对于数本身及数的变化而言，我们是何等渺小和微弱！人们在争、在选择，究竟在争选什么呢？人们常常把“人是理性动物”挂在嘴边，这个理性真的是数学上的理性吗？8人围坐八仙桌吃饭的例子已说明此理性非彼理性。刘薰宇感叹道：“数是这样启示我，要支离破碎地去追逐它，对它是无法理解的，真要理解，另有一条路。在我们的生活上，好像也正有这样的明朗的星光照耀着！”[5]

3.《假使我们有十二个手指》

该文是以“马浪荡改行”的故事为引，引发关于进制丰富而又奇特的思考。

文中刘薰宇回忆道：上海曾风行过一种书报，这书报上每期刊载一页“马浪荡改行”。马浪荡是一个浪荡子，干过很多行当，但每个行当均以失败告终。有一次这人当了拍卖行的伙计，他接待了一位每只手都有六根手指头的买客，伸手表示他为某件东西出十元钱，可马浪荡见着十二根手指头，便以为他说的是十二元，高高兴兴地卖了，并记下账来。到收钱的时候，那人只出十元，马浪荡的老板照账硬要十二元，争执得不可开交。最后，马浪荡赔了两元了事，他又一次失败了。

借此故事，刘薰宇不仅给出了二进制、三进制、十进制、十二进制、二十进制间转化的例子，而且扩展到任一进制间转化的一般性公式。刘薰宇带着读者走进了十二进制的数学世界，首先介绍了十二进制运算法则的不同，包括乘法运算中的“乘法口诀表”的不同，还给出了类似十进制“九九乘法表”的新乘法口诀表，起名为“依依乘法表”，还讲解了“四则问题中数字计算的问题”及“整数的性质中倍数的性质”等问题。

（三）数学游戏为引

《恨点不到头》《堆罗汉》《八仙过海》和《棕榄谜》以游戏为切入点，进而揭示游戏背后使人取胜的数学原理。读者从中可以感受数学的魅力，激发对数学的兴趣。

1.《恨点不到头》

该文以“掷状元红”游戏为例，并运用类比推理、由特殊到一般及化归的思想方法，揭秘“掷状元红”游戏的奥秘，并警示人们在日常生活中不要被眼前的事实欺骗，而将真实掩盖。也要注意“观察和实验”的重要性，不要只靠现成的理论演绎。

“掷状元红”游戏规则：六颗骰子掷到碗里，只要出现一个红（指四），就得一个秀才签，两个红可以得一个举人，以此类推。有几个特殊的：若出现五颗六和一颗五，这就叫“恨点不到头”，可得一个状元签；若是“六颗骰子均为六”叫“全色”，比“恨点不到头”赢得多；若出现“五颗红一颗五”叫“火烧梅花”，可以拿走别人已经获得的状元签。所以六比“恨点不到头”好，红又比六好。谁都希望红多，希望全六，但它们很难出现。

针对游戏中出现上述情形比较困难的情况，刘薰宇给出了原因解说——或然率（概率）的问题，通过计算，按照从特殊到一般的顺序逐层深入地详细解说“恨点不到头”游戏中每颗骰子出现任一数字的或然率是均等的，出现一颗红的或然率是，并不比出现其他难；出现五颗六，或五颗红的或然率也和出现其他的数字一样均为；而全六或全红的或然率极低，只有。从计算结果可以知道全色比五出现的概率小，所以游戏中出现很难是很合理的。

至于人们认为这个客观结论与主观经验似乎不大一致，刘薰宇解说道：那是因为我们将注意力集中到红色，所以就觉得红色的出现分外困难。倘若耐下心把游戏过程中各个数出现的数目记下来，再进行统计，就会发现，这个经验一定和平常得到的相去悬殊，而和计算的结果相近。对此，他警示道：我们在生活中不知不觉已养成容易动感情和不能排除偏见的习惯，若将这种习惯带入到科学的领域是会失败的。并又以彩票和看神医为例，说明偏见和感情好比一副有色眼镜，使人无法看清楚外面的世界。踏进科学领域的第一步就是观察和实验。虽然这并不容易，毕竟观察和实验只在很窄的范围内可行，但只要坚持去做，是比原理演绎得到的结果更有意义的，因为原理很有可能是一副“有色眼镜”。

2.《八仙过海》

该文运用类比推理及由特殊到一般的思想方法破解“八仙过海”游戏的奥秘——排列法中的一种形式，并将中国的传统文化搬进了教科书，打破了当时教科书中全部引用外国教科书内容的局面。

“八仙过海”游戏即一个人将八枚钱分上下两排排在桌子上，叫另一个人记准其中一枚后将钱收起，重新排，仍是上下两排，又叫这个人看定前次记准的那枚钱在哪一排后再将钱收起，再重新排成两排，这回再叫这个人看，并且说出自己记准的那枚钱在这三次排法中的上下，比如说“上下下”，则会猜出这个人所记准的那枚钱是下一排的第二个。

刘薰宇采用由特殊到一般的方法解说了能猜中的原因，揭示其中所蕴含的数学原理——顺列法（排列），并给出了“八仙过海”科学玩法的5个条件：①八枚钱；②分上下两排摆；③前后共排三次；④收钱的顺序是照直行由上而下，从第一行起；⑤摆钱的顺序是照着横排由左向右从下一排起。①随②③变，④是可以调换顺序的，也就是我们可以由下向上收，或从末一行起，⑤可以从右向左第一排起，不过这样一来，形式会有一些变化。

当然，刘薰宇也指出了对于这个游戏并不限于八枚钱、两排、三列，依据“八仙过海”游戏的原理，你想分排几次，用（是钱数，是次数，是排数）心上一算就知道了。并通过举例，由浅入深，详细讲解了顺列法的两个法则。

对此原理，刘薰宇风趣言道：即使是请几位神仙下凡，而你依照前面所说过的条件④⑤那样去操作，神仙有再高明的道法也无济于事，因为孙悟空的筋斗云是逃脱不了如来佛那可伸缩的手心的。

3.《堆罗汉》

该文是以读者熟悉的“堆罗汉”游戏为引，运用数形结合及特殊到一般的思想方法，得出等差数列前n 项及其每项的平方和与立方和的公式：

①

②

③

并用数学归纳法进行了证明。同时，他也将数学归纳法与一般归纳法进行了比较，厘清了二者的区别，指出前者是后者的特例而已。

将“堆罗汉”游戏中的每个人抽象成边长为1的正方形，从最下面一排往上数，每排依次减少一个正方形，直到最顶上只有一个正方形。刘薰宇交代道，像这类依序相差同样的数的一列数，数学中称为等差数列。文章以其为模型，先分别求出公式①的前7项和，并辅以图形验证，接着分别求出公式②和③的前4项和，进而猜出并证明了这三个数列的前n项和公式。

刘薰宇也指出数学上常用的是演绎法，教科书中给出这类级数公式算术上的证明方法也是演绎法求出来的。他认为，一般情况下，演绎法不如归纳法可靠、稳妥，因为演绎法的基础是建立在一些普遍法则上的，如果这些法则当中有一个或几个出了问题，那整个问题就全盘动摇了。其实，在人们认识和改造世界的过程中，归纳法和演绎法是两种基本的逻辑思维方法，二者是辩证统一的：归纳推理要以演绎推理为指导，否则就会失去目标；演绎推理要以归纳的结论为根据，否则就会失去前提。我们在学习过程中要正确看待这两种方法，既不片面夸大，也不刻意否定。

刘薰宇也总结了自己证明这三个公式的步骤，并将其归纳为四个步骤。另外，他也强调，我们必须承认“科学只能诊断事实，不能否定事实”，并以中西医为例来阐述这一观点，指出科学精神最根本的是不武断、不盲从，科学的态度是要虚心地使用科学的方法。

4.《棕榄谜》

该文以上海棕榄公司广告中的游戏抽奖广告为引，将排列组合知识应用到抽奖游戏中，并证实了这样的抽奖是“骗局”。其中的抽奖游戏规则为：如图7中的56张牌是对雀牌牌面的替换，如“棕榄香皂”四字代替“东西南北”；“珂路搿”三字代替“中发白”；棕榄香皂、系带牌牙膏及棕榄香珠之三种圆形则代替“筒索万”。按照雀牌规则，由该公司总经理从图7所示的56张牌中拣出14张，排定成和牌一副（方式正如填满图中的空位处），送至上海银行封存租定第三四零一号保险柜中，至开奖时请公证人启视以昭郑重。参加游戏者亦在56张雀牌中拣出14张排成一副。如与公司总经理排定和牌完全相同，则赠送新式无线电收音机一台。

有趣的数学的文章,与数学有关的创意文章(5)

刘薰宇将此广告抽象为排列组合问题。因为该问题比较复杂，不仅需要在56张中选出14张，而且所选的牌必须满足“和牌”的要求，故他先计算从56张中任意选出14张牌所需排列的次数，再将和牌按照字的不同和花色的不同分类，接着又根据和牌成立的要求，分成四字组、三字组、二字组和一字组，再将可能出现的情况讨论后，得出和牌有176230种可能。由此可见，按照规定，排出与该公司排定和牌完全相同的希望十分渺茫，所以，此抽奖可谓“骗局”。

文章中实例不胜枚举，如“从若干件东西中拣取多少件的方法，应当怎样计算呢？比如你约了九个朋友，一共十个人组成一个数学研究会，要推两个人做干事，这有多少种方法呢？”读者不仅从中学习了“排列组合”的知识，而且可用其解决生活中的诸多问题。

（四）数学的认识

《数学是什么》和《数学所能给与人们的》是关于数学认识的阐述，希望将数学变得普及化和哲理化。

1.《数学是什么》

该文首先阐述了不同人给数学下的不同定义，探讨数学究竟是什么。例如，罗素认为：“数学是我们永远不知道我们在说什么，或我们说的是否是真实的学科。”古希腊的亚里士多德认为：“数学是计量的科学。”

关于数学的定义有很多，而刘薰宇认为“数学是使用符号来研究‘关系’的科学”，又可以说是“符号的游戏”。因为“整数到分数，正数到负数，乘方到使用指数，我们都可以看到符号的创立和许多关系的产生。到一个定点距离相等的一个完全的曲线叫圆，这是一个定义，也只是‘圆’这个符号的规定”[5]86等。刘薰宇解释：符号使用得越多，所得的关系越不容易具体化来供人们使用。随着数学的发展和对数学的深入学习，人们见到的符号和关系会越多，那些符号与关系有时都很难说得清楚，不失为一种符号的“游戏”。历史上，不同的数学家、哲学家都给数学下过定义，刘薰宇给数学下的这个定义，是数学发展史上诸多数学定义中的一种。它们都是对数学本质特征的揭示，只是所站角度不同而已。

2.《数学所能给与人们的》

谁都不能否认数学所给予人们的“用处”。该文主要是对人们常说的数学到底有什么用的解答，除阐述数学在天文学、哲学、建筑和艺术等方面的功绩外，刘薰宇重点指出了数学与人生有直接的关联。

对于这个精神世界，刘薰宇给出了形象的阐释：

活在直线世界的人有前后一条出路，活在平面世界的人则有前后左右两条路，立体世界的人则有前后、左右、上下三条路。愚蠢的人争尺寸地盘而患得患失，不知精神的生活可以不限于六合以内，不伤一人，不和任何人相角逐，在立体的世界以外，开拓了第四、第……条路来。不占有而享受，精神界的领域很广！这就是数学所给与人们的。[5]26-27

四、《数学趣味》的特点

数学科普并没有固定的形式，用文学的形式普及数学是其形式之一。刘薰宇的科普著作《数学趣味》的一大特点是以趣味丰富、通俗易懂的语言写枯燥的算理。具体来说，该书的特点可概述为以下四点：

第一，题材来自生活或历史经典问题，破除了人们对数学的错误认识。

“在嬉皮笑脸中来谈点严肃的数学法则”[6]是刘薰宇论著最显著的特点。人们心中枯燥的数学在他笔下变得妙趣横生。这归功于他能够站在读者的角度，用大家熟知的、富有趣味性的生活题材、历史经典问题及日常游戏引发读者对数学问题的思考，在不知不觉中把读者带进数学世界，激起他们的数学学习兴趣。将数学视为一种符号游戏进行解说，也不乏趣味性。著名作家、画家丰子恺言道：“我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！最近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书中几篇文章，我与薰宇相识后，他便做这些文章。他每次发表，我都读，诱我读的，是他们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。”[5]1

第二，善于用通俗的语言及“搭桥铺路”方法进行问题的讲解，引领读者进入数学王国。

刘薰宇以通俗的语言“搭桥铺路”，由浅入深、由表及里的举例，激发读者的学习兴趣。通过思考，体味知识的发生、发展过程，真正发展数学思维，提高数学修养。对于难以理解的数学概念、性质、定理等内容，他常常用浅显易懂、生动形象的日常例子进行引入、讲解，这样的例子往往令读者久久回味，很难忘记。我国数学家徐利治先生曾说：“刘薰宇先生的《数学趣味》使我对数学产生了浓厚的兴趣。此书是中华人民共和国成立前开明书店出版的，初中时，我读了这本书，明白了数学归纳法是怎么回事。”[7]

第三，在无形中流露出思考问题的方法，潜移默化地影响读者思考。

叶至善曾说：“ 不要把小读者当作口袋。”[8] 这句话是告诫科普作者不能一味地向读者灌输知识，应当通过作品去引导读者理解数学思想，应教授数学方法，使其能自行掌握。刘薰宇在该书中注重数学思想方法的渗透。他善于用通俗的语言对问题的每一步进行讲解，最后对这样表述的每一步进行通解化的数学表达。这种做法类似美籍匈牙利数学家波利亚（George Polya）的“怎样解题表”中的方法，在对某一问题的解决过程中感受思考数学问题的方法。刘薰宇也曾说学习数学没有秘诀，对于繁复的问题要耐住性子。著名物理学家、诺贝尔奖得主杨振宁在1983年2月19日对香港中学生的演讲中说：“早在中学时代，由于偶然的机会我对数学发生了兴趣，而且发现了自己的数学能力……有一位刘薰宇先生，他是位数学家，写过许多通俗易懂和极其有趣的数学方面的文章。我记得，我读了他写的关于智力测验的文章，才知道排列和奇偶排列这些极为重要的数学概念。”[9]

第四，数学思维方法的渗透与德育思想并驾齐驱，体现全人教育。

从该书中不难发现，刘薰宇将类比、数形结合、由特殊到一般等思想方法渗透到了问题解决中。同时，他在数学问题解决的阐述中不乏德育的内容。例如，数学所给予人们的精神世界、多角度思考问题、要有质疑精神、游戏中久赌必输的思想教育、数的本身及数的变化引发的人的理性选择问题、戴有色眼镜无法看清世界、继承和发扬传统算法等。这些思想的渗透和刘薰宇关于教育的观念是分不开的，他的教育思想之一就是全人教育。东吴大学文学博士，民国历史文化与文学研究中心主任的张堂琦曾评价刘薰宇《数学趣味》中《数学所能给与人们的》这篇文章道：“这篇很有学者散文的味道，将知识生活化、普及化、哲理化，是刘薰宇在春晖时期最富表现力的一篇佳作。”[10]

总之，《数学趣味》融知识性、趣味性、故事性和可读性于一体。它虽没有文学作品那跌宕起伏的情节和充满诗情画意的文字，但它给读者带来了“理性思维和推理”的乐趣，使读者不再觉得数学枯燥乏味。

刘薰宇是中国数学科普著作的开创者之一，毕生着力于我国的数学教育事业。他以趣味丰富的文字书写枯燥的算理赢得了广大读者的喜爱。丰子恺在《数学趣味》的序言中就提道“假如从前有这样的数学书，也许我不会抛荒数学”。该书影响了那个时代的人们，相信新版的《数学趣味》定会使当今中学生、数学教育工作者及科普著作的编撰者陶熔鼓铸。

注：① 一淘：一起。

基金项目：内蒙古自治区高等学校科学研究项目（教育厅人文社科重点项目）“民国时期数学课外读物的教育价值研究”（NJSZ17028）；内蒙古自治区研究生教育创新计划资助项目（S20191240Z）；内蒙古师范大学研究生科研创新基金资助项目（CXJJS19097）；内蒙古师范大学通识教育课程项目“数学文化”（291142）。