图8 陀螺轮边缘受轴向力系示意图
可以看到，这是一种从重力矩反推力的做法。之所以要这么做，我们会看到，相对于复杂的刚体力学，在这里用力和加速度来分析物体的运动规律，将会更加直观。
现在考虑陀螺有自转的情况。设轮子的自转角速度 ω 如图 9 所示。从零时刻开始，追踪轮子顶部的一个质量为 m 的点。在时刻 t 时，它运动至 θ=ωt 处，此时它受轴向力为
F=F0cosωt
由于初始轴向速度为零，则该点沿轴向的速度为
图9 处于水平方向的自转陀螺
可见，自转的轮的边缘不同点的轴向速度不同，它在最高和最低点处为零，而在沿垂直纸面的最前方和最后方两点为最大，它们以竖直方向的直径为分界线，正对着我们的这一半上的点的速度向右，而远离我们的另一半上的点的速度向左。轮子边缘上各点的轴向速度分布如图 10 所示。
图10 陀螺的轮子边缘轴向速度分布
很明显，这说明陀螺绕竖直轴做角速度向上的转动，这就是进动！
从中可以看出，由于 sin 和 cos 函数之间的特殊关系，转动的轮子上的点的轴向运动相对其所受轴向力沿轮子自转方向转过 90° 的角，正是这个原因导致了回转力矩产生了进动。
上述轴向力与速度具有周期性，符合简谐振动的特点。轴向力 F=0 处对应平衡位置，其轴向坐标为零，而初始时刻位置
，按此条件，将速度对时间积分，得轴向坐标，即偏离平衡位置的位移为
由此可见，轮上个点的轴向位移与轴向力的方向相反。这看起来有点违反直觉，但实际情况的确如此。
为了说明这一点，我们来仔细分析轮子边缘最上方的点的情况。图 11 是进动陀螺（见图 9）的俯视图。在某个时刻 t，轮子顶点（图中灰红点）速度方向水平向左，如图中间部分所示；而在之前的某个时刻 t-Δt，这个点处在轮的右端，那时轮子正从左侧绕进动轴转过来，如图左侧部分所示；在之后的 t Δt 时刻，该点已运动到轮的左端，而那时轮子已经摆到右侧，如图右侧部分所示。若把该点在三个时刻的位置用光滑的曲线连起来，将得到一条往上凸起的曲线。由此可见，当点位于顶点时，它离转轴 O 最近，也就是说，它的位移是指向 O 的，而此处的轴向力是背离 O 的。可见，力与位移的方向的确相反。
图11 俯视自转和进动的陀螺
实际上，考虑到这些点一方面在随轮子自转，现在又在进动，综合来看，这些点在作曲线运动，那么曲线运动必然受到向心力的作用，而向心力总是指向曲线的曲率中心的，既然最高点处的轴向力指向远离 O 的方向，它作为向心力所决定的曲线运动的曲率中心当然也在远离 O 的那一侧了。
3 结语
本文通过将刚体的运动与质点运动的类比，将进动理解为刚体惯性的所导致的结果，在此基础上，我们构建了一个思想实验来理解进动现象。当转动的刚体受垂直于角动量的外力矩作用时，其作用效果相当于一个未自转的刚体在垂直的方向受到一个力偶作用，这导致了回转力矩。进一步地，我们基于力和运动的简单计算，深入理解回转力矩的本质，通过分析陀螺上各点的速度和位移的分布情况，直观地解释了陀螺进动的物理机制。
参考文献
[1]江先国.对称陀螺运动的简明分析方法[J].大学物理,1988(10):5-8.
JIANG X G. A concise analysis method of symmetric gyro motion[J]. College Physics,1988(10): 5-8. (in Chinese)
[2]梁昆淼.令人困惑的定点转动[J].大学物理,2010,29(9):55-58.
LIANG K M. Confusing fixed-point rotation[J]. College Physics, 2010, 29(9): 55-58. (in Chinese)
[3]梁昆淼.力学上册[M].4版.北京：高等教育出版社,2010.
[4]刘斌.力学[M].合肥：中国科学技术大学出版社,2013.
[5]梁昆淼.旋转的陀螺为什么不倒[J].物理教学,1980(3):12-13.
LIANG K M. Why does the spinning top not fall down[J]. Physics Teaching, 1980(3): 12-13. (in Chinese)
（上接第80页）
[13]许巧平，郝刚领，刘巧平. 内耗技术的研究进展与应用[J]. 延安大学学报(自然科学版), 2010, 29(2): 53-59.
XU Q P, HAO G L, LIU Q P. Research progress and application of the internal friction technology[J]. Journal of Yanan University (Natural Science Edition), 2010, 29(2): 53-59. (in Chinese)
[14]吴学邦，刘长松，朱震刚. 内耗技术在软物质研究中的一些应用[J]. 物理, 2016, 45(11): 720-728.
WU X B, LIU C S, ZHU Z G. Applications of internal friction technology in the study of soft matter [J]. Physics, 2016, 45(11): 720-728. (in Chinese)
[15]YU H B, WANG W H, BAI H Y, et al. The β-relaxation in metallic glasses[J]. National Science Review, 2014, 1(3): 429-461.
[16]WANG B, SHANG B S, GAO X Q, et al. Understanding atomic-scale features of low temperature-relaxation dynamics in metallic glasses[J]. The Journal of Physical Chemistry Letters, 2016, 7(23): 4945-4950.
[17]YU H B, RICHERT R, SAMWER K. Correlation between viscoelastic moduli and atomic rearrangements in metallic glasses[J]. The Journal of Physical Chemistry Letters, 2016, 7(19): 3747-3751.
[18]MENARD K P. Dynamic_Mechanical_Analysis-A Practical Introduction[M]. biopolymers, 1999.
[19]方前锋. Ta-O固溶体中的Snoek-Kster弛豫[J]. 金属学报, 1996, 06: 565-572.
FANG Q F. Snoek-Kster relaxation in Ta-O solid solutions[J]. Acta Metallurgica Sinica, 1996, 06: 565-572. (in Chinese)
[20]汪卫华. 非晶态物质的本质和特性[J]. 物理学进展, 2013, 33(5): 177-351.
WANG W H. The nature and properties of amorphous matter[J]. Progress in Physics, 2013, 33(5): 177-351. (in Chinese)
[21]乔吉超，张浪渟，童钰，等. 基于微观结构非均匀性的非晶合金力学行为[J]. 力学进展, 2022, 52(1): 117-152.
QIAO J C, ZHANG L T, TONG Y, et al. Mechancial properties of amorphous alloys: In the framework of the microstructure heterogeneity[J]. Advances in Mechanics, 2022, 52(1): 117-152. (in Chinese)
[22]CHENG Y Q, MA E, SHENG H W. Alloying strongly influences the structure, dynamics, and glass forming ability of metallic supercooled liquids[J]. Applied Physics Letters, 2008, 93(11): 111913.
[23]DEBENEDETTI P G. Supercooled liquids and the glass transition[J]. Nature, 2001, 410(6825): 259-267.
[24]YU H B, SAMWER K. Atomic mechanism of internal friction in a model metallic glass[J]. Physics Review B, 2014, 90(14): 144201.
基金项目: 2021年广东省高等教育教学研究和改革项目，华南理工大学2022年度教研教改项目。
作者简介: 熊志松，男，广东省深圳中学中学物理高级教师，国际物理奥林匹克竞赛金牌教练，从事高中物理奥林匹克竞赛教育和中学教育管理工作。
通讯作者: 程运华，男，华南理工大学副教授，从事物理学理论研究与教学工作，研究方向为计算凝聚态物理，yhcheng@scut.edu.cn。
引文格式: 熊志松，程运华. 进动现象的直观解释[J]. 物理与工程，2023，33（5）：108-113.
Cite this article: XIONG Z S, CHENG Y H. Intuitive explanation of precession phenomenon[J]. Physics and Engineering, 2023， 33（5）：108-113. (in Chinese)
END
更多精彩文章请点击下面“蓝字”标题查看：
CALL FOR PAPERS｜《物理与工程》征稿量子世纪年中国大学物理教育MOOC联盟2023年工作会议（扩大）暨典型案例交流会 会议纪要2023年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会 会议纪要2023 年全国高等学校物理基础课程青年教师讲课比赛在喀什大学举办全国大学物理实验教学对口支援（智力援疆）研讨会在新疆师范大学举办王青教授：理解王中林院士“拓展的麦克斯韦方程组”“碰瓷”麦克斯韦：伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈热点：运动介质洛伦兹协变电磁理论2021年《物理与工程》优秀论文、优秀审稿专家、优秀青年学者名单王青教授：源自苏格拉底的问题驱动式教育——在互动中共同学习和成长读后感：教育中的现实和远方王青教授：昨晚（6月9日），清华电动力学期末考试朱邦芬院士：“减负”误区及我国科学教育面临的挑战《物理与工程》2023年第4期目录乐永康：新冠肺炎疫情防控下美国物理实验教学及中美情况对比顾牡：对于重新制定的《非物理类理工学科大学物理课程教学基本要求》的认识和体会朱邦芬院士：从基础科学班到清华学堂物理班朱邦芬院士：对培养一流拔尖创新人才的思考李学潜教授：物理是一种文化李学潜教授：如何帮助物理系学生迈过从高三到大一这个坎穆良柱：物理课程思政教育的核心是科学认知能力培养穆良柱：什么是物理及物理文化？穆良柱：什么是ETA物理认知模型穆良柱：什么是ETA物理教学法吴国祯教授：我的国外研究生经历印象——应清华大学物理系“基科班20年·学堂班10年纪念活动”而写
陈佳洱，赵凯华，王殖东：面向21世纪，急待重建我国的工科物理教育王亚愚教授：清华物理系本科人才培养理念与实践葛惟昆教授：关于中外人才培养的几点思考安宇教授：为什么传统的课堂讲授模式需要改变安宇教授：其实教学就是积累的过程刘玉鑫教授：关于本科生物理基础课程教学和教材编著的一些思考沈乾若：重创理科教育的美加课程改革Henderson C：美国研究基金支持下的物理教育研究及其对高等物理教育的影响《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台：
http://gkwl.cbpt.cnki.net
欢迎关注
《物理与工程》微信公众号
继续滑动看下一个轻触阅读原文
