梅森素数是一类特殊的素数，可以表示为 2^p-1的形式，其中 p 本身也必须是一个素数。这种数的名字来源于17世纪的法国数学家梅森，但其特性的发现则要追溯到更早。公元前的希腊数学家欧几里得在《几何原本》中首次提出了梅森素数与完全数之间的联系，并给出了证明。这个发现不仅揭示了数学中一个深刻的结构，也为后来的数学家们提供了研究的基础。
这里，我们也考虑如何证明欧几里得的这个结论。为了证明 P 是一个完全数，需要计算 P 的所有真因子的和，并证明这个和确实等于 P 本身。
证明证明的第一步是确定数 P 的所有因子。由于 P=2^(p-1)q，其中 q=2^p - 1 是一个梅森素数，它的因子可以分为两组：
- 2^(p-1) 的因子：这些因子是 1, 2, 2^2, ..., 2^(p-2)。
- 2^p - 1 的因子：因为 2^p - 1 是一个素数，它只有两个因子，即 1 和 2^p - 1 本身。
由于 2^(p-1) 是 2 的幂，它的因子将是 2 的幂次，具体为：
这些因子都是 2 的幂，它们是 2^(p-1) 的因子，同时也是 P 的因子。
第二部分的因子（乘以 q）接下来，再来看梅森素数 q。由于 q 是素数，它只有两个正因子：1 和 q 本身不过将 q 乘以 2 的幂次（即第一部分的因子），我们得到的是第二组因子：
