作者：洪海丹
数学归纳法是一种关于自然数n的命题P（n）的证明方法，它的推理形式为：
（1） 如果n=n0（一般n0=1），命题P（n）成立。
（2） 假设n=m（1<m或n0<m）时，命题P（n）成立。
（3） 证明n=m 1时，命题P（n）也成立。
则命题P（n）成立。
数学归纳法实际上不是严谨的归纳法，实质上属于演绎推理法，但由于它的前提是归纳思维方法，所以还是把它叫做归纳法。数学归纳法有多种形式，其中包括了第一归纳法，第二归纳法，跳跃归纳法，多基归纳法，方向归纳法，二重归纳法等等。数学归纳法上述格式一般称为第一归纳法，第二归纳法的一般步骤如下表示：
（1） 证明n=0时，命题P（n）成立。
假设nm时，命题P（n）成立，证明当n=m 1时，命题P（n）也成立。
一、数学归纳法“以有限把握无限”的精髓解读
1889年，意大利数学家Peano在《用一种新方法陈述的算术原理》中给出了五条公理，其中公理Ⅴ被称之为“归纳法公理”，它提供了一种以有限把握无限的方法。
归纳公理主要表述的是一个M包含于自然数集N，若M满足以下两个条件：①1
②若n
那么我们就可以得到M=N。该公理的意义为：每一个自然数与它的后继数之间都不会存在一个自然数，若我们有足够的精力、时间以及写作材料，我们可以把所有的自然数都写出来。它的意义也被称作为“最小自然数原理”，即表达的是任意一个非空的自然数集合，它必含有一个最小的自然数。由此我们可以知道最小自然数蕴含着无限递推的原理。
早在1953年，索明斯基在其著作《数学归纳法》中就给出了数学归纳法与最小自然数是等价的。对于数学归纳法的证明过程，我们也是无法一一都说明每一个命题都成立，终究还是通过有限的来把握无限的，它的依据就是最小自然数原理。由此，我们也可以了解到数学归纳法与最小自然数原理一样都蕴含着无限递推的思想，实现了从有限到无限的跨越。数学归纳法可以通过“有限”来解决“无限"的问题。
