联立 ①②③，代人数据解得:h = 1.8 m
解法2:设苹果通过树冠的时间为t，则落地时间为t 0.2
由公式②可知:
树冠和树*高度
h₁=0.5g(t 0.2)² ①
树冠的高度
h₂=0.5gt² ②
由题意知:
h₁-h₂=1.4 m ③
联立 ①②③,代入数据解得:
t=0.6s
所以树冠的高度为
h₁=0.5gt²=
h₁=1.8m
解法3:设苹果经过树冠末端的速度为v₀，由运动学公式可知:苹果经过树干过程中
匀变速直线运动一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的速度，即苹果通过树干中间时刻的速度v=7m/s，设苹果通过树冠的时间为t，则苹果到达树干中间时刻的所用时间为t 0.1
由v=g(t 0.1)
代入数据解得:t=0.6s
所以树冠的高度为
h=0.5gt²=0.5x10x0.6²m=1.8 m
解法6:初速度为零的匀加速运动，在相邻的连续相等的时间T内位移比为:
x₁:x₂:x₃:···:xₙ=1:3:5:···:(2n-1)
取T=0.2s，苹果在第1个T时间内的位移为：
h=0.5gT²=0.5×10×0.2²m=0.2 m
苹果在第n个T时间内的位移hₙ=1.4m，则
h₁:hₙ=0.2:1.4=1:(2n-1)
解得n=4
所以苹果通过树冠的时间t=0.6s
树冠的高度为
h=0.5gt²=0.5×10×0.6²m=1.8 m
点评:题目设置了一种新的物理情景，但本质还是自由落体运动最后n秒的问题.解法1直接,但运算量大,计算能力要求较高;解法2、3、4没有直接设高度，而是间接设时间和速度,减少了计算量,属于基本方法;解法5、6利用了匀变速直线运动的推论,方法巧妙,大大减少了计算量.
练习:一小球从某一高处自由落下,空气阻力不计,g取10m/s²。如果小球落地前的最后1s下降高度是整个下落高度的9/25(25分之9)，则小球刚下落时的高度是多少?
(参考答案:125m)
比较例1和例2,我们发现已知条件和未知条件发生了互换,是互逆的的两个过程,但本质是相同的,都属于求解自由落体运动最后n秒的问题.解决此类问题常用方法主要有两种:一是差值法,即用总位移减去最后n秒之前的位移求解或者建立等式;二是初速法，即假设最后n秒之初的速度,用位移公式求解.此类问题解法很多,平时学习要注意一题多解,举一反三,达到熟练掌握运动规律以及它们之间的联系,培养学生的发散思维和创新思维.
参考文献:
[1]王贇.例析如何求解自由落体运动下落的高度
[J].湖南中学物理,2017,32(09):97,78.
[山东省青岛市即墨区美术学校(266200)]
文章来源:
数理化学习(高中版)2021年第7期
作者简介:赵财昌(1979-),男,湖北襄阳人,本科,讲师,主要从事高中物理教学研究。
伽利略的荣耀时刻1581年，17岁的伽利略进入了比萨大学，作为一名医学生开始了自己的大学生涯。
……
而在老师眼中，集逃课、善辩与耍小聪明刁难教授于一身的伽利略无疑是“坏学生”的典型。历史处处蕴含着奇妙的辩证法:“好学生”在旧秩序中出类拔萃，“坏学生”要奠定新秩序来出类拔萃，而新的秩序调教出一批新的“好学生”并等待着新秩序下的“坏学生”来埋葬自己。批量生产的“好学生”至多能承担书写或誊抄历史的任务，而不世出的“坏学生”才是历史的开创者与引路人。
归谬法
……对同一事物，相互矛盾的陈述不能同时为真，相互反对的命题也是如此……
——亚里士多德《形而上学》
与哥白尼、第谷、开普勒甚至阿奎那、布鲁诺一样，伽利略在神学院（大学）接受了系统的中世纪经院教育，以追溯到毕达哥拉斯和柏拉图的“自由七艺”为主要内容，包括“三门”（语法、修辞、逻辑）和“四科”（算术、几何、音律、天文）。天主教旗帜下的“七艺”传承的是一种古希腊哲学家和古罗马法学家的思考模式，这种思考模式在亚里士多德、阿奎那和伽利略之间连结成一条隐秘的纽带。
……由静止开始的匀加速直线运动——“天然的加速运动”，物体开始下落计时后某一时刻的速度与时间成正比（任意相等时间间隔内速度的增量都相等），比例系数被定义为“加速度”，且这段时间内，运动的平均速度为末速度的一半。对该结论的证明延续了古希腊的几何学传统，实质上已经奠定了后世解析几何与微积分手段的雏形。
这套几何描述的一个自然而然的结论:由静止开始的匀加速直线运动，从出发点计时到任意位置的距离正比于时间的平方——如果这个匀加速运动是自由落体，那么这就是所谓“自由落体定律”。它还有一个在经验世界可供检验的推论:从静止开始，任意相邻相等时间间隔内的运动距离之比为1:3:5:7:9……恰好构成一个奇数列——这是一个毕达哥拉斯式的发现。
……
伽利略带着真正意义上的“比萨斜塔”——一个带槽的木质斜面，登场了……
取大约12肘①长、半肘宽、三指厚的一块木头模板或余料，在上面挖一条比一指略宽的槽，使之非常笔直、平坦和光滑，给它垫上尽可能平坦和光滑的羊皮纸，我们槽释放一个坚硬、光滑且非常圆的铜球。将这个木板倾斜放置，使一端比另一端高约一到二肘，我们如前所述释放铜球，用稍后介绍的方法计量滚下的时间。为了时间测量的精度达到两次观测的误差不超过1/10次脉搏，我们不止一次重复实验。完成该操作并确认其可靠性后，我们现在仅在槽长度的1/4处释放铜球并测量滚下的时间，我们发现它恰好是前者的一半。接下来，我们尝试其它距离，将铜球滚下全长的时间与1/2，2/3，3/4或任意分数长度的时间作比较；在这些重复上百次的实验中，我们总是发现通过距离之比等与时间平方之比，这个规律对我们释放铜球的槽所在任意坡度的斜面都成立。我们还观测到各种坡度斜面滚下时间之间的精确比，之后我们将会看到，作者已经预言并证明之。
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①1肘约合45.7－55.9厘米。
为了测量时间，我们在较高处放置一个大的盛水容器；在容器底部焊接一根可以射出细小水流的小孔径管，无论铜球从槽的全长或部分长度处滚下，每次铜球滚下时间内射出的水收集在一个小玻璃杯中；每次铜球滚下后收集的水放在一个非常精确的天平上称量；这些重量的差别和比例为我们提供了每次时间的差别和比例，其达到的精度以至于尽管重复操作许多许多次，结果无明显差异。
——《关于两门新科学的谈话和数学证明·第三天》
……
哲学（换言之自然哲学）是写在一本伟大的书上——我指的是宇宙，这本伟大的书不断开拓我们的视野，但是我们无法读懂它，除非一个人首先学会领悟书写它的语言和字符。书写它的语言是数学，它的字符是三角形、圆形及别的几何图形。离了数学，人力不可能解读其中任何一个单词；离了数学，人将徘徊在幽暗的迷宫。
——伽利略《试金者》
本节内容摘编自:
李轻舟著《德尔斐的囚徒：从苏格拉底到爱因斯坦》
