在高中课本上求解圆的切线方程一般的方法是代入法,然后利用解方程△=0的方式,来解决.
本文根据求导的法则来推导. 同时证明圆的切线与圆心到切点的直线垂直
圆的一般方程和切线
问题: 若p(x1,y1)在圆(x-a)² (y-b)²=r²上,求过p(x1,y1)的切线方程.
证明推导过程:
对圆方程(x-a)² (y-b)²=r² 求导,即
d(x-a)²/dx d(y-b)²/dy.dy/dx=0 (这里d(y-b)²对dx求导,遵循符合函数链式法则)
即: 2(x-a) 2(y-b).dy/dx=0 dy/dx=-(x-a)/y-b 即为圆的一般切线方程
因为dy/dx=k,就是斜率: 而p(x1,y1)在圆上,所以代入得到
k=-(x-a)/y-b= - (x1-a)/y1-b ,即为点p(x1,y1)处圆切线的斜率
因为圆心O(a,b),我们连接OP,得到圆心到切点的斜率为Kop= y1-b/x1-a
Kop.k=-1 也从代数方法上证明了 圆心到切点的直线垂直于切线.
二: 总结归纳:
1.学会使用求导法则,方便快捷的解决切线的问题
2.在证明过程中:我们使用了求导的链式法则
3.同理可以用此证明方法来求解比较复杂的曲线斜率的问题
