初中数学课程标准修改后，教材中四点共圆知识已经删除掉了，但这样一件强悍且使用简单的武器，我们还是有必要去了解的，近年来对于压轴题以几何为核心的考区来说，有时用到解题更为简洁方便，由此应该理解掌握。可以说传统几何知识“四点共圆”是直线形与圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介，是平面几何一个十分有力的工具。
1．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
【解析】：本题拓展性地考查了确定圆的条件，圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
（1）对角互补（对角之和等于180°）；
∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；
四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补．
（2）图4中，∠B ∠D＜180°．图5中，∠B ∠D＞180°．
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）．
