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题型一 已知两边，找夹角 SAS
1.如图，△ABC中，AB = AC，点 E，F 在边 BC 上，BE = CF，点 D 在 AF 的延长线上，AD = AC，
（1）求证：△ABE ≌ △ACF；
（2）若 ∠BAE = 30°，则 ∠ADC = °．
【解析】
（1）∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠ACF，
在 △ABE 和 △ACF 中，
AB = AC , ∠B = ∠ACF，BE = CF，
∴ △ABE ≌ △ACF（SAS）；
（2）∵ △ABE ≌ △ACF，∠BAE = 30°，
∴ ∠CAF = ∠BAE = 30°，
∵ AD = AC，
∴ ∠ADC = ∠ACD，
∴ ∠ADC = 1/2（180° - 30°）= 75°.
2.如图，点 E、F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C，AF 与 DE 交于点 G，
求证：GE = GF．
【解析】
∵ BE = CF，
∴ BE EF = CF EF，
∴ BF = CE，
在 △ABF 和 △DCE 中，
AB = DC , ∠B = ∠C，BF = CE ,
∴ △ABF ≌ △DCE（SAS），
∴ ∠GEF = ∠GFE，
∴ EG = FG．
3.已知，点 P 是等边三角形 △ABC 中一点，线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 到 AQ，连接 PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若 PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求 PC 的长度．
