本篇将傅里叶变换，下面以FT简称。
网上有很多关于FT的文章，还有动画，一系列首尾相连的棍子，甩啊甩。看着狂拽酷炫，然并卵，看完了觉得FT很牛逼，但依然不明白FT。怎么一个好端端的函数，就是一系列正弦波了？什么时域频域，听着高大上。
本文从最基本的三角级数开始，阐述FT的数学本质。内容非常硬核，如果只想随便看看，搜搜FT的视频，看看甩甩小棍子的即可。
0 序，为什么FT这么难以理解FT在微积分中放在最后一章的最后一节，本身来讲篇幅不多，概念、定理、推导过程都不多，只是开了个头。之后，FT在信号与系统中出现。但是，信号系统中，着重FT的应用。对FT的导出并不是它的重点。所以就FT的学习来讲，是脱节的。微积分中不谈FT的应用，导致FT的意义没有很好落实。信号系统中FT的导出又是不够严谨的，导致知其然不知其所以然。而FT的思想，微积分教材本身是不阐明的。所以，这就造成了对于每个工科学生来讲，FT就是噩梦，稀里糊涂的睡，稀里糊涂的醒。
我们学FT，必须把各科的教材对应看。光看一册是不够全面的，自然无法体会FT的奥义。
首先：
- FT推导在于微积分，因为用到了定积分的概念，这是形而下。
- FT理解于线性代数，它的数学本质是线性空间的变换，这是形而上。
- FT应用于信号系统，这是形而下中下。
明白了这三点，学习FT就有了路。
其次，学FT，必须学它的根基。把基础打扎实。FT的基础是傅里叶级数，傅里叶级数的基础是三角级数。所以，至少我学FT，一半以上的精力是花在三角级数。弄明白了三角级数的来龙去脉，FT是水到渠成的东西。
1 级数讲三角级数前，还是得先回顾一下级数。级数是个好东西，它能把不好的变成好的。比如幂级数，一个非常好的用处就是能解方程，无论是超越方程还是微分方程。电路中，整流电路就是靠泰勒级数求解的。
级数又是一个非常反直觉的概念。举几个例子。首先就是大家耳熟能详的
0.9999999999.... = 1
再来一个，条件收敛的常数项级数，调换项，可能导致级数不收敛，也可能导致收敛到其它值。简单来讲就是条件收敛的级数不符合加法交换律。乍一看非常神奇！从小学学起的加法交换律居然不成立了！
微积分中，级数还是一个非常重要的概念和理论。它能证明好多教材在前面中埋下的坑。如，如何判断隐函数有函数，如何判断微分方程有解，甚至有唯一解。
形式上来讲，级数就是无穷个有规律的项的和。所以，我们可以用任何组合，只要有规律的，都可以替代数或者函数。而剩下两个问题：
- 是否收敛于常数或者函数，（废话，不收敛的要来干啥）
- 收敛速度，（当然越快越好）。
问题1，工科有福了，可以不管，有狄利克雷收敛条件保证。万一不满足，不要紧，有广义FT。
问题2，FT不涉及。
2 三角级数为什么函数要转换成三角级数？这恐怕是第一个问题，暂且按下。我们要解决的是，如果表示成三角函数的级数，怎么个形式？
下面是第一个想到的：
非常自然，但也是非常不好的。因为它不正交。不正交的问题在于非常难求系数。所以化成：
这个形式非常好，正交！非常容易求系数。
什么是正交，为什么正交是我们追求的，看下面的推导过程。
随之而来的第二个问题是，x是实数集，有正有负。为什么到了三角函数的n，教材中只取正整数？负的为什么不要了？
原因很简单，依然是正交。假设我们取了负数，有
可见，除了把系数弄的复杂化，没有任何好处！
3 三角级数的数学意义这个是形而上，需要重点把握的。
从线性代数的角度看，三角级数的本质是空间变换，将原本x空间的函数映射到三角函数空间。但不同于普通意义的线性代数，这里变换的是函数，而不是一般的实数。
这是学习FT最重要的一点。FT的数学意义必须在线性代数的角度理解。但微积分受限于学科，往往教材不会点明这点。至于信号与系统，压根不算数学书。然而线性代数的教材由于本身不涉及微积分，所以一般也不会说到FT。
细品上面的黑体文字！再给张图
