古希腊人和古代中国人都知道用已知的多边形去逼近复杂曲线图形，阿基米德用穷竭法算出了一些简单曲线围成的面积，刘微用正多边形去逼近圆，也就是用割圆术去计算圆周率。
牛顿和莱布尼茨发现了“微分和积分是一对互逆运算”这个惊天大秘密，正式宣告了微积分的诞生。
柯西和魏尔斯特拉斯用ε-δ语言重新定义了极限，把风雨飘摇中的微积分重新建立在坚实的极限理论基础之上，彻底解决了幽灵般的无穷小量的问题，解决了第二次数学危机，也在数学领域解决了芝诺悖论。
勒贝格基于集合论，对积分理论进行了一次革命，建立了定义范围更广的勒贝格积分，并且进一步把这场革命推进到了实分析。
虽然我们以勒贝格结尾，但这丝毫不代表微积分在勒贝格这里就走向了完结，即便这时候已经是20世纪初了。
20世纪60年代初，有一个叫鲁滨逊的德国人重新捡起了莱布尼茨的无穷小量。他把实数扩展到非实数，直接把无穷大和无穷小变成了非实数域里的一个元素。所以他的理论可以直接处理无穷小量，这是第一个严格的无穷小理论。
我们知道，幽灵般的无穷小量在微积分建立初期掀起了腥风血雨，后来经过柯西和魏尔斯特拉斯的拼命抢救，才终于在坚实的ε-δ极限理论之上重建了微积分。柯西和魏尔斯特拉斯的这一套让微积分严密化的方法被称为标准分析。
而鲁滨逊认为，无穷小量虽然不严谨，但是大家基于无穷小量做的微积分计算却也都是正确的，这至少表明无穷小量里应该也包含着某种正确性。ε-δ极限是一种绕弯解决无穷小量不严谨的方法，但是这种方法并不是唯一的。鲁滨逊选择直接面对无穷小量，直接建立了另一种让微积分严密化的方法。因此，与柯西和魏尔斯特拉斯的标准分析相对，鲁滨逊的这种方法被称为非标准分析。
提出了不完备定理的数学大神哥德尔就对非标准分析推崇备至，他认为非标准分析将会是未来的数学分析。他说：“在未来的世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分300年后，第一个严格的无限小理论才发展起来。”
我们现在就处在哥德尔说的未来的世纪中，各位看官对这个问题有没有什么看法呢？
数学不等于计算，数学也不等于应用，绝妙而深刻的数学思想（比如发现微分和积分是互逆过程）和严密的逻辑（如使用ε-δ定义极限）反而是更重要的。而且，数学的壮观之美也往往需要站在后面两个角度上才能体会到，我很难相信有人会觉得重复的做计算是很有趣的，这也是很多人不喜欢数学的原因。
但是，我绝对相信那些真正认识了数学的人，他们是发自内心的觉得数学美丽动人。
