《简明微积分》这本书，是华罗庚的弟子——龚昇先生的一本名著。这本书最早的版本，于1965年，在中国科学技术大学近代物理系试验班，作为教材试用。目前已经出到第四版，高等教育出版社。在amzon上，可以找到我对第四版的书评，署名是xxxxxxxx，还可以找到更多的书评。
先说一下我接触这本书的过程，这几乎是一个巧合。
2010年我博士毕业，进入山东科技大学担任教师，教自动化、电气工程、应用物理等专业的一些电工基础课程。比如《电路原理》这门课程，不同的系科也叫《电路基础》、《电路分析》《电工学1》。
作为工科基础课的教师，必须熟练掌握微积分、微分方程、线性代数、复变函数与积分变换的基础知识。另外，根据师门遗风，师祖建议，基础课教师的数学水平，应该不低于前苏联斯米尔诺夫的《高等数学教程》，这本书基本上包括、甚至超出了工科、物理的所有传统高等数学知识。而由于《教程》这本书早已绝版，所以我毕业后不得不寻找替代的读物。我在毕业之前，已经读过了前苏联菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，以及十几部线性代数和矩阵，所有很自信“懂”微积分。
后来由于阴差阳错的原因，在网上偶然看到龚昇先生本人的讲座，用外微分讲微积分的基本原理，我感觉醍醐灌顶，深受教育。并且立刻意识到，其实自己根本就是一知半解，微积分根本没入门。更谈不上能在我的课程里运用微积分的思想和概念。龚昇先生本人的讲座，现在网上仍然可以搜到。所有学微积分、但没学过外微分的读者，我都强烈建议去读这部《简明微积分》。我在图书馆先看过几次，感觉实在有必要，就买了一本。为此我曾两个晚上连续通宵。工科和物理的书，完全可以引人入胜，就看作者有没有这个能力和水平。
著名数学家吴文俊先生为这本书写了序，引几句给各位看看。......通过Newton与Leibniz之手，.....认识到微分与积分是互逆的两个概念，.....统一成微积分基本定理。......法国数学家H.J.Poincare指出了多重微积分应该有一个正负定向。......使多重积分在坐标变换下原来有些拖泥带水的变换公式，有了一个精炼的形式，并使Newton——Leibniz微积分基本定理到多变量的推广，步入了坦途。（------注：就是Newton——Leibniz、格林、高斯、斯托克斯四个公式可以写成一个stokes公式。）H.J.Poincare关于体积元有定向这一发现，导致了外微分形式的出现。......定向是几何拓扑中最有深刻意义的的伟大创造之一。......龚昇教授以其敏锐的目光指出了微积分的核心是单变量的Newton——Leibniz微积分基本定理以及多变量的Stokes公式，可谓切中要害，并使高等院校的初学者得以轻松地登堂入室。.....在汗牛充栋的微积分教程中，占有特殊的位置。
下面是我的一些体会。
《简明》与通常的课本，比如同济《高数》很不同。
《简明》在第5页就开始了定积分，然后第18页开始微分，前30页就已经讲完了微分中值定理和微积分基本定理。真是能让初学者大开眼界，非一般的教学水平。稍后的泰勒展开、近似计算也很精彩。紧接着非常顺畅地，介绍了工科根本不教的，微分方程解的存在性和唯一性定理（这是在求解微分方程之前必须考察的，只有有解，你才有可能去求；只有解唯一，你才能说你找到了那个解，或者去逼近那个解）。这个定理我在硕士的时候，用了两个星期才看懂什么意思。当时这个定理对我的学习影响很大，直接引导我进入了非线性系统理论的学习。
《简明》后来很轻松地介绍了Jacobi矩阵，这个很重要，就是坐标换元法的意思，基本上会在所有微积分的应用中明显地或者隐含着地出现，比如初等概率论中求正态随机变量的变换等等。
最最精彩的莫过于第七章，线、面积分与外微分形式，龚昇先生以完全初等水平的知识，轻松阐明了格林、高斯、斯托克斯公式形式上、思想上都是Newton——Leibniz微积分基本定理的推广：他们统统是，函数在高维区域的积分与原函数在低维（高维的边界）的积分这两个东西的关系。这一章，你还可以学到为什么三维空间只能定义梯度、旋度、和散度。以及高水平的——一般在微分几何中，比如在微分流形中——才出现的重要的H.J.Poincare引理及其逆。
第九章，一致连续性、Darbou和，函数的可积性（就是你什么时候才能算积分！！！）。
第十章也够精彩。这一章你能学到审敛法的Dirichlet定理和Abel定理。对我影响很大的一个思想是，数列、、函数、级数、广义积分完全可以看成是一回事。这使得我在学习实分析和泛函分析的时候，减少了很多思想上的、逻辑上的困难。
最后一章是傅里叶级数，虽然精彩，但是对工科和物理系，比如电气电子要学习电磁场，感觉不够，我想你应该去读专门的偏微分方程或者数学物理。
《简明》一书，主题分明，一气呵成，读此书宛如听龚昇先生本人的讲解。由于《简明》大大地提高了我对数学的认识和好奇心，极大地影响了我的教学和工作，我愿意将此书推荐给所有对高等数学有需求的读者。
最后要说明一点，“学什么”这件事，或许是你践行“活到老学到老”这一准则的大问题，但是初学者根本没有能力考虑自己该学什么，或许只能阴差阳错地“胡乱”做一个决定。不过，能知道自己学了什么，这些东西到底什么意思，是不是退而求其次的好态度呢？读懂《简明》，基本上，你已经做好了微积分入门的准备。随着见识的积累、能力的增长，比如Rudin的《数学分析原理》（我曾用这本书教过工科硕士三次）等等国际名著，已经在向你招手了，而你可能走向更加了解自己、更加相信科学的道路。
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