作者 | 三川啦啦啦
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
所谓阶乘，就是指：
我们规定，，下面是十以内的阶乘列表。
| 自然数n | 阶乘n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
说来也奇怪，「把前面正整数都乘起来」，这似乎是刚学乘法的小朋友会提出的问题。数学家为什么要专门定义这种运算？
阶乘与计数原理数学的世界总是出人意料地好玩，这看似是一个「玩笑」，然而在组合数学中，阶乘是一个基本而又关键的概念。从一个最基本的问题出发：
★把个不同的小球排成一列，总共有多少种排列方法？
由计数乘法原理，我们按照排序逐个选取小球：排在第一个位置的小球的选取方法有种，排在第二的小球只能在剩下的个小球中选取……于是最终的答案正是（注意这个叹号不是在感叹～）
顺便我们介绍组合的概念：从个不同的小球中选取个小球的方式有多少种，我们将这个问题的答案记为
在这里我不得不提及排列中著名的「错排问题」：
★邮递员将封不同收件人的信，全部放错邮箱的情况数？
通过简单的容斥原理
可以计算。其中表示集合的元素个数。
在错排问题中，我们可以设表示第个邮箱放对信的全部情况，于是信都投错的情况恰是(De Morgan定律)
由上述所说的全排列容易计算：
……
利用上面已知的信息，代入容斥原理计算公式可得
再由集合互补的关系可得
这就是错排问题的答案。
进一步，我们求错排的概率的话——
随着信件数的增加，这个概率会趋于一个常数
也就是说当充分大时，这位粗心的邮递员全部投错邮箱的概率居然高达！（这是一个表示惊叹的叹号）
从这个问题就看得的出，阶乘和自然对数的底有着极为深厚的渊源，顺便提一下一个著名的关于的级数表达式
如果了解一点微积分的同学一定知道的重要性，它的背后是一部波澜壮阔的微积分历史，建议大家看以色列知名科普作家Eli Maor的《e的故事：一个常数的传奇》。
阶乘与初等数论关于阶乘的故事还有很多，接下来我们从初等数论的角度谈一谈。
根据阶乘的定义，我们知道当时，一定是合数，于是自然就会产生试图对其进行质因数分解的想法。有这样的公式吗？还真有——
这个古怪的公式提供了质因数分解中质数的指数的算法，习惯上使用如下符号表示
这个公式的证明不难，主要是利用了取整函数的特性。
★既然大于的阶乘是合数，那它有没有可能是一个完全平方数？答案是：否。
利用上面的公式，我们可以给出一个简单的证明。
实际上我们只要证明：不超过但离最近的质数，有
证明：分两种情况：
若（质数集合），则命题显然；
若，设是不超过却离最近的质数，现在只需证明即可，于是便有
若不然，则满足存在的原因是伯特兰定理（Betrand's Theorem）。如此一来， 的出现与的极大性相矛盾（ 离更近）. 所以大于的阶乘皆非完全平方数.
提起阶乘和素数，不得不说威尔逊定理(wilson's Theorem)——
★正整数是质数的充要条件：
因为文章篇幅所限，还有大量关于阶乘的初等数论的结论就不一一列举了。
阶乘与高等数学接下来关于阶乘的内容涉及大量微积分的内容，我们就点到为止。
首先关于阶乘首要的问题便是究竟有多大？毕竟阶乘运算并不属于我们所熟悉的初等函数（「幂指对三反」的四则运算及其复合，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数），我们特别想知道阶乘的基本初等函数的表达式。于是斯特林公式（Stirling's approximation）应运而生
虽然这是一个渐近表达式，但是足以应付常见的极限问题。在《阶的估计基础》(潘承洞、于秀源著)中有更为精确的公式与推导过程。
阶乘最关键的发展，毫无疑问归功于欧拉引入的积分，后世称之为欧拉第一积分：
伽马函数图像
欧拉积分所定义的函数叫伽马函数。非常神奇的是，这个函数正是阶乘的「连续光滑版本」，即
由伽马函数的定义，通过一系列分析的手段可以得到斯特林公式；当然，最引人瞩目的便是阶乘和再次产生了奇妙的缘分。
伽马函数实际上还可以推广为复变函数，并且其具有某种深刻的对称性——余元公式：
——阶乘和圆周率也产生联系了。后来大数学家黎曼将其与他的泽塔函数联系在了一起：
毫无疑问，泽塔函数是解析数论的中心，黎曼猜想至今是人类悬而未决的重大猜想。关于黎曼猜想推荐大家阅读《素数的音乐》（Marcus du Sautoy），内容跌宕起伏十分精彩。
在维球体积公式中，也有伽马函数（阶乘）的倩影：
我在专栏里曾写过一篇文章《来自无穷维的雨点——正态分布的几何模型》[https://zhuanlan.zhihu.com/p/45755600]，其中考虑的是这样一个问题
★设单位球中的点，考虑投影映射，于是投影至一维直线上，形成的密度函数有何特点？
高维球内的点投影至1维空间示意图
蒙特卡罗模拟7维的情况
从图像中就可以看出密度曲线是标准的钟形分布，最后我在文中证明了其与正态分布的*
而伽马函数（阶乘）依然起到了枢纽的作用，并且我们再次看到了老朋友.
总结尽管学过乘法的小学生就可以计算阶乘，然而阶乘的身上仍然充斥着未解之谜。本文从中学生较为熟悉的排列组合以及初等数论入手，然后又介绍了其「高阶版本」——伽马函数，展示了其在高等数学中无处不在的身影，体现出数学一以贯之的美感。
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