容斥原理公式推导过程,容斥原理公式推导

首页 > 经验 > 作者:YD1662022-10-31 03:10:04

在我们解决数学问题时,经常遇到探索规律或者方案确定问题。这是一类非常重要的问题,无论是在平时考试中还是在数学竞赛中,都是一个重点内容。它涉及到统筹法的应用、容斥原理和归纳的数学思想方法,本篇文章就分类来讲解这类问题的思路和方法:

一、核心知识

1.统筹法的应用——生活中会遇到这样一些问题:完成一件事怎样合理安排,才能做到所用的时间最少;把一批货物从一个地方运到另一个地方去,选择什么样的运输方案,才能运费最省;车站设在什么地方,才最方便附近工作的乘客等.此类问题都涉及到如何统筹,目标是选择最佳.

2.容斥原理的应用:

(1)数集:把若干个数聚在一起叫数的集合,简称数集.例如0,1,2三个数,可写成集合{0,1,2},其中0,1,2叫做这个集合的元素,一般集合用A、B、C等表示,用a、b、c等表示集合的元素,用|A|、|B|分别表示集合A、B元素的个数,用A∩B表示A和B的公共部分(即交集),用A∪B表示A或B的部分(即并集).

如设集合A={0,1,2,3,4},B={2,3,4,5},则|A|=5,|B|=4,A∩B={2,3,4},A∪B={0,1,2,3,4,5}.

(2)容斥原理公式:

|A∪B|=|A| |B|-|A∩B|;

|A∪B∪C|=|A| |B| |C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| |A∩B∩C|;

解决原理公式有关问题的图形,通常使用“韦恩图”的方法.

如图,其中A、B、C分别表示具有A、B、C三种性质的集合,而A、B的公共部分

表示具有A、B两种性质的集合,A、B、C的公共部分具有A、B、C性质的集合.

容斥原理公式推导过程,容斥原理公式推导(1)

3.归纳思维——通过特例的观察、实验、抽象概括,引起直觉上的共鸣,发现事物的共性,这种规律性的思维过程称为归纳思维(即不完全归纳法).

二、例题讲解(一)统筹法的初步应用

【点拔】关注分析等待修理时间长的机床数的多少,哪一种更有利?

【解答】7x5 8x4 10x3 15x2 29x1=156(分钟)

156x5=780(元)

【反思与小结】一般地,哪一个修理的时间最短,下修理哪一个.从整体上来说,先修理用时最短的,其他等待的总时间最短,从整体的经济效益来说,损失最小。

【点拔】思考哪些事情是必须的,哪些事情可以同时做?从整体上统筹.

【解答】解:开水壶2分钟→烧开水15分钟(洗热水瓶1分钟,洗茶杯3分钟,拿茶叶2分钟)→沏茶,所以最少需要17分钟.

【反思与小结】要从整体统筹,清洗水壶、烧水是必须的,而其他的事情可以在烧水的时间去做,因此要从整体上思考才能做到所用的时间最短。

【点拔】要使时间最短,必须每次同时烤两面,怎样做到每次同时烤两面呢?

【解答】最少需要9分钟

(二)容斥原理的应用

【点拔】注意弄清题意,搞清此题是求哪些集合的公共部分,然后根据容斥原理解决.

【解答】设三种外语都懂的为x人,则91=47 50 50-22-21-23 x, 所以x=10

既三种外语都懂的有10人

【反思与小结】解决此类问题,通常利用“韦恩图”的方法来解决。如左图。

其中A、B、C分别表示具有A、B、C三种性质的集合,而A、B的公共部分表示

具有A、B两种性质的集合,A、B、C的公共部分具有A、B、C三种性质的集合。

【点拔】关注找到能被4整除的数、被6整除的数分别有几个,既能被4整除的数又能被6整除的数有多少个。

【解答】解:设A={1000-2000能被4整除的数},B={1000-2000能被6整除的数}

则需要计算的是|A∪B|

能被4整除的数第一个是1000,最后一个是2000,则|A|=(2000-1000)/4 1=251

能被6整除的数第一个是1002,最后一个是1998,则|B|=(1998-1002)/6 1=167

A∪B={1000—2000既能被4整除又能被6整除的数}={1000—2000能被12整除的数}

因为能被12整除的数第一个是1008,最后一个是1992,则

| A∩B |=(1992-1008)/12 1=83

所以| A∪B |=|A| |B|-|A∩B|=251 167-83=335

即在1000—2000之间,包括1000和2000,能被4或6整除的数有335个

【反思与小结】运用容斥原理解决有关问题,一定要搞清楚每个集合的对象,以及集合中元素的个数,尤其关注相关集合之间的公共部分、并集部分的元素以及数目不要搞错。

(三)归纳思维

问题一:a、b为两个正整数,且满足a b=10,探究ab的值?

猜想:当a=________,b=________时,ab的值最大,最大是______________;

问题二:a、b为两个正数,且满足a b=10,

猜想:当a=________,b=________时,ab的值最大,最大是______________;

简要说明:设a=5 x,则b=________,则ab=________,

此时当x=________时,ab最大,最大是_____________;

图形说明:观察图形,分别用两种方法表示阴影部分的面积:

第一种:______________________________;第二种:______________________________;

得到关于a、b的公式是:______________________________;

观察下列发现当a、b接近时,阴影部分的会越来越_______________;

猜想:当ab、满足_________关系时,ab的值最大,最大是_______;此时阴影部分的面积为_______;

容斥原理公式推导过程,容斥原理公式推导(2)

问题三:a、b为两个正数,且满足a b=m,其中是固定的正数,

猜想:当a=________,b=________时,ab的值最大,最大是______________;

问题四:a、bc、为三个正数,且满足a b c=m,其中是固定的正数,

猜想:当a=________,b=________,c=________,时,abc的值最大,最大是______________;

【反思与小结】利用归纳方法探究问题一般遵循“特殊——一般——特殊”的规律。从特殊的数字、位置研究某一问题,归纳出具有一般意义的结论,再在特殊数字、位置中验证所得到的结论正、误。本例利用归纳得出两个正数的和是一个定值,当两个正数相等时,乘积最大。

(1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连结DA.若△ACD的面积为S1,

则S1=______(用含a的代数式表示);

(2)如图2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连结DE.若△DEC的面积为S2,则S2=__________(用含a的代数式表示);

(3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连结FD,FE,得到△DEF

(如图3).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示),

并运用上述(2)的结论写出理由.

发现:像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到△DEF(如图3),此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的多少 倍.

容斥原理公式推导过程,容斥原理公式推导(3)

应用:去年在面积为的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,把向外进行两次扩展,第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△GHI(如图4).求这两次扩展的区域面积共为多少?

【反思与小结】三角形之间的面积关系,可以通过比较两个三角形的底、比较它们的高发现两者之间的关系.

④=_________;⑤=_________;……

则第个等式是:______________________________;能否证明第个等式?

【点拨】观察每个等式的结果与四个因数中哪些因数有关?能否归纳其规律?

对于等式的正确性需要利用多项式乘法进行证明,证明时,能否根据从等式右边的结果出发,思考左边利用乘法结合律与“整体”的数学思想进行证明?

容斥原理公式推导过程,容斥原理公式推导(4)

首页 123下一页

栏目热文

文档排行

本站推荐

Copyright © 2018 - 2021 www.yd166.com., All Rights Reserved.