情形1 . 弦
若圆的题目中出现关于弦的相关知识点，要想到弦相关的定理和一些性质，垂径定理、弦心距、勾股定理等．
例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F
（1）求证：FC＝FB；
（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．
分析：
（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．
（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．
证明：
（1）∵PD∥CB，
∴弧PC＝弧BD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FC＝FB．
（2）解：如图，连接OC，
设圆的半径为r，在Rt△OCE中，
OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，
∴r²＝(r﹣8)² 12²，
解方程得r＝13．所以⊙O的直径为26．
情形2 . 直径
出现直径时，要联想圆心角、圆周角等性质，构造等腰三角形、直角三角形等图形。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．
（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；
（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．
分析：
（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；
（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答即可．
证明：
（1）∵若点D恰好与点O重合，
∴∠COD＝60°（跳步啦），
∴∠ABC＝∠OBC＝∠COD＝30°；
（2）∠ABM＝2∠ABC，
作点D关于BC的对称点D'，
连接CD'，BD'，
∵对称，
∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，
连接CO，D'O，AC，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∠D'OC＝2∠D'BC，
∴∠AOC＝∠D'OC，
∴AC＝D'C，
∵DC＝D'C，∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD ∠ABC＝90°，
设∠ABC＝α，
则∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，
即∠ACD＝2∠ABC，
∵∠ABM＝∠ACD，
∴∠ABM＝2∠ABC．
情形3：切线
如果题目给出有切线，我们可以思考添加过切点的半径，连结圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，再使用勾股定理解出一些边角关系。
如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．
（1）求证：PC＝PF；
（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3√2
，tanP＝3/4，求FB的长．
分析：
（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E ∠EFA＝∠OCE ∠FCP＝90°，从而可知∠EFA＝∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；
（2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3√2
，从而可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以BG/PG=3/4，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
证明：
（1）连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，
∵OE⊥AB，
∴∠E ∠EFA＝∠OCE ∠FCP＝90°，
∴∠EFA＝∠FCP，
∵∠EFA＝CFP，
∴∠CFP＝∠FCP，
∴PC＝PF.
（2）过点B作BG⊥PC于点G，
∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3√2，
∴OB＝3，
∵BG⊥PC，
∴四边形OBGC是正方形，
∴OB＝CG＝BG＝3，
∵tanP＝3/4，
∴BG/PG=3/4，∴PG＝4，
∴由勾股定理可知：PB＝5，
∵PF＝PC＝7，
∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
情形4：相交切线
考虑连结圆心和切点，或连结圆心和圆外的一点，或连结两切点。得出一些特殊的三角形和边角关系，比如全等、相似、垂直、边角关系等。
例4.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．
（1）求边AD、BC的长；
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
分析：
（1）过D作DF⊥BC于F，设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x 6，根据勾股定理就到一个关于x的方程，就可以解得AD的长；
（2）△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长.
情形5：内切圆
过内心作三角形各边的垂线段或者连结圆心到各三角形顶点，构造特殊的边角关系和三角形。圆心到三角形顶点的连线是角平分线；圆心到三角形三边的距离相等。
如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
（1）∠AOC＝______；
（2）若NC＝3，BC＝2√5
，求DM的长．
分析：
（1）只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
（2）由切线长定理可知：AM＝AE，DM＝DN，CN＝CE＝3，设DM＝DN＝x，AM＝AE＝y，在Rt△BDC中，根据BC²＝BD² CD²，构建方程即可解决问题.
情形6：外接圆
一般先构造一条直径，再根据题目的一些条件构造特殊的三角形和边角关系。
如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D．
（1）求证：∠PAC＝∠ABC；
（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝2√3
，CD＝2，求⊙O的半径．
分析：
（1）连接AO延长AO交⊙O于点E，连接EC．想办法证明：∠B ∠EAC＝90°，∠PAC ∠EAC＝90°即可解决问题；
（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．求出OM，根据CM^2＝OC^2﹣OM^2＝CF^2﹣FM^2构建方程即可解决问题.
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