科拉兹（1910-1990）与角谷静夫（1911-2004）
还有一些数自身具有特殊的性质。一个数，如果它是三个边长都为有理数的直角三角形的面积，我们就称其为“同余数”。从下图可以看出5，6，7是同余数，而费马最早证明1，2，3不是同余数。
如果一个数等于除了它自身之外所有的约数之和，我们就它称为“完全数”。6就是个完全数，除了它自身，6的约数有1、2和3，且 6=1 2 3。同样地，28=1 2 4 7 14也是一个完全数。不难验证，496，8126，33550336也都是完全数。
与完全数相关的概念是“亲和数”。给定两个数A和B，如果A除了本身之外的所有约数之和等于B，并且反过来B除了本身之外的所有约数之和等于A，我们就称A和B是一对亲和数。例如：220除了本身之外的约数是1、2、4、5、11、20、22、44、55、110，它们之和是284，而284除了自身之外的约数是1、2、4、71、142，它们加和恰好是220。因此220和284是一对亲和数，它们最早由毕达哥拉斯发现。之后，费马发现了亲和数17298和18416，笛卡尔发现了亲和数9363584和9437056。其它已知的亲和数还有：1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6368……借助计算机，目前科学家已经找到了数千对亲和数。
上述完全数和亲和数都是针对于合数，而素数本身就有许多奇妙的规律。如果一个大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他约数，我们就称这个数是素数，也称为质数。最小的十个素数依次是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。欧几里得在《几何原本》中就素数做了一些讨论，并给出了“有无限多个素数”的论断。这个结论很容易证明。假定素数只有有限多个：2，3，5，...，p，其中p是最大的素数。我们把所有的素数乘起来再加1，即定义N=2×3×5×...×p 1。显然N的约数只有1和N本身，故知N(>p)也是一个素数，这与p是最大的素数相矛盾，假设不成立！因此素数一定有无限多个。
关于素数有许多神奇而有趣的现象，前面提到的哥德巴赫猜想就和素数相关。关于素数的另一个著名的猜想是孪生素数猜想，该猜想认为：存在无穷多对孪生素数对。这一猜想是1949年由法国数学家波利尼亚克提出的。孪生素数对指的是挨在一起（相差为2）的两个素数，例如3和5、5和7、11和13、17和19都是孪生素数对。数学家发现，当数字越大时，素数就越稀少，想要找到孪生素数对就越困难。但孪生素数猜想却认为存在无穷多组孪生素数对，也就是说，给定一个任意大的有限数，总能找到比它更大的孪生素数对。仔细想想，这个猜想颇有点玄幻的味道。遗憾的是，这个猜想至今还未被完全证明。
波利尼亚克（1826-1863）和一些孪生素数对，你能证明/证伪这个猜想么？
2013年，华人数学家张益唐在孪生素数猜想问题上取得了历史性的突破。他证明了存在无穷多个素数对，其中每对素数之差小于7000万。继而经过诸多数学家的努力，7000万这个差值界已经降到了200多。而孪生素数猜想中素数对的差值是2。
张益唐（1955-）
“数学是科学的皇后”，大多数人都知道这句德国数学家高斯的名言。其实这句话的后面还有一句：“数论是皇后的皇冠”。高斯被称为数学王子，他本人在数学，包括数论的许多方面做出了卓然的贡献，他还证明了代数基本定理，是非欧几何的发明人之一。数学中许多定理和方法以他命名，如高斯最小二乘法、高斯-博内定理、高斯正态分布、高斯积分公式、高斯二项式定理等等。
多元一次方程的消元解法在我国古书《九章算术》中就早有记载，在西方也被称为高斯消去法。高斯出生于贫苦人家，小时候家境不好。他父亲是个烧砖工人，不让高斯上学，希望高斯长大后继续烧砖的工作。在舅舅的劝说和母亲的坚持下，高斯直到7岁才开始上学。一上学高斯就展露了他的数学天赋。一个广为人知的故事是高斯9岁就自己推导出了特殊等差数列的求和公式1 2 ... N=(N 1)N/2。大学时，高斯给出了正十七边形的尺规作图法，24岁即出版了学术专著《算术研究》。该书至今仍是数论方面最重要的著作之一。高斯从30岁开始担任哥廷根大学的教授和天文台台长，直到他去世。
