莫比乌斯（1790-1868）与莫比乌斯带
神奇有趣的莫比乌斯带没有正反面之分，与之类似的是没有内外部之分的克莱因瓶。克莱因瓶可以看作是莫比乌斯带从二维到三维的延拓。
克莱因瓶
概率论是数学的一个分支，其中有趣的故事也数不胜数。最常见的与概率有关的事件是投硬币，硬币正面朝上和正面朝下的概率都是50%。投硬币的一个有趣题目是：连续投硬币直到连续出现N次正面朝上就停止，问投硬币次数的期望值是多少？答案是2-2 , 这个神奇的答案其实有非常巧妙的简单推导方法。
美国电影《玩转21点》中有个经典场景：三扇门后面分别是一辆价格不菲的汽车和两头羊。男主角的任务是挑中汽车所在的门。他任意指认了一扇后，教授（知道哪扇门后有车）打开了另一扇门，后面是羊。请问男主角是否应该换成指认第三扇门？这个故事其实是受到了美国作家斯托克顿的短篇小说《美女还是老虎？》的启发。该小说中，一个远古的野蛮国王有一种非常离奇的判罚犯人的做法：把罪犯送进斗兽场，要求他从两扇一样的门中选择一扇打开，其中一扇门后站着一个美丽的少女，而另一扇门后关着一只凶猛的老虎。如果罪犯选中老虎，他会成为老虎的盘中餐，这就是对他犯罪的处罚；如果罪犯选中美女，他就会被判无罪，不仅马上获释，还可以抱得美人归。
小说中的罪犯挑得美女的机会是1/2，但电影中的男主角在最开始挑中汽车的概率却只有1/3。让我们回到电影中三扇门的问题，男主角正确的选择应该是换一扇门。如果不换，他能得到汽车的概率依然是前面分析的1/3；而如果他选择更换，由于教授给出的额外信息，他得到汽车的概率就增加到了2/3！
斯托克顿（1834-1902）
另一个和概率有关的神奇问题是布丰投针问题。布丰是法国数学家、自然学家，但他在大学时修的却是法律。他考虑了一个投针的实验：在平面上画一些距离为d的平行线，向此平面随机投掷长度为 L(L<d) 的针，则针与平行线相交的概率为 2L/dπ。看似与圆周率毫无关系的实验却得到了一个与有关的结果，让人感觉到数学“处处有惊喜”。这个有趣的结果是能够用数学严格证明的。通过这种思路，人们可以运用蒙特卡洛计算机模拟的方式来近似计算的值。
布丰（1708-1788）与投针问题
极限也是数学中很有趣的概念。它的存在解释了很多所谓的“悖论”。早在战国时期，庄子就在他的著作《庄子•天下》中提到“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。意思是取一尺长的木杆，每天截去当时长度的一半，如此往复可以永远截取下去。了解极限概念的人自然知道这在现实中是个悖论。学过高等数学的大学生应该都曾做过不少有意思的计算极限的题目。在计算极限时，洛必达法则大概是运用最多的定理之一。洛必达法则告诉我们：如果两个函数在自变量趋于无穷时它们都趋向于无穷大的话，它们比值的极限等于它们导数比值的极限。该法则取自人名洛必达，他是法国数学家，撰写了第一本关于微积分的教材。
