这些图形是莱昂纳多·达·芬奇的画作，收录在意大利数学家卢萨·帕乔利（Lusa Pacioli）1509年出版的《神圣比例》（De Divina Proportione）一书中。图中的正多面体即为5个柏拉图多面体，也属于九大正多面体。其每个面都是相同的正多边形。正十二面体由12个五边形组成。正二十面体由20个等边三角形组成。正八面体由8个等边三角形组成。正四面体由4个等边三角形组成。立方体（或称正六面体）由6个正方形组成。
奇怪的是，总共只有五种正多面体：正四面体（有4个三角形面）、立方体（有6个正方形面）、正八面体（有8个三角形面）、正十二面体（有12个五边形面）、正二十面体（有20个三角形面）。人们已经证实，从二维到三维的变化是有局限性的。欧几里得在《几何原本》的结尾处证明了这五种多面体是唯一可能的立体图形。但希腊人在很早以前就已经知道这件事了，他们把这些称为“柏拉图多面体”，因为柏拉图曾在公元前约350年出版的《蒂迈欧篇》一书中描述过这些立体。在这部著作中，柏拉图开创了把这五种对称形状与宇宙的意义联系起来的先河，他把正四面体和火元素等同起来，把立方体同土联系起来，而正二十面体对应的是水，正八面体对应的是空气，正十二面体对应的是一种很轻的物质（以太）——这种物质构成了星群和天空。
四种星形多面体，有时被称为“开普勒–潘索多面体”。它们是大十二面体（左上）、小星形十二面体（右上）、大星形十二面体（左下）以及大二十面体（右下）
想弄清到底是谁最先发现了正多面体，有点儿像尝试找出是谁发明了火。但是，柏拉图把正多面体的发现归功于雅典的泰阿泰德（Theaetetus），他可能是柏拉图在雅典学院的一个学生。历史学家相信，《几何原本》后几卷中的一些内容完全是由泰阿泰德的发现衍生而来的，还有其他一些记载在欧多克索斯和帕普斯的著作中。一个较早的说法是：“所谓的五种柏拉图多面体其实并不属于柏拉图。其中三个是由毕达哥拉斯发现的，它们被命名为立方体、角锥体和正十二面体。而正二十面体和正八面体是由特埃特图斯发现的。”
文策尔·雅姆尼策绘制，约斯特·安曼 （Jost Amman）雕刻的美丽版画
柏拉图神秘的立体占星学联想一直吸引着西方思想家。开普勒试图在《宇宙的奥秘》这部著作中将柏拉图多面体的五重和谐与天空联系起来。开普勒太阳系的模型用到了所有五种柏拉图多面体，以此描述16世纪时人们知道的六大行星的 轨道。他用柏拉图多面体内切球和外接球的直径之比，来指明行星在自身轨道中离太阳的最大距离和紧挨着的外层行星离太阳的最短距离之比。这就产生了六个 已知星球的五种比例。每个柏拉图多面体都被安排在两个相邻的行星之间。
当内层行星离太阳最远时，行星在柏拉图多面体的内切球上；而当外层行星离太阳最近时，行星在相应的外接球上。当早期的古希腊人最早开始列举组成柏拉图多面体的五种正多面体时，他们把目标限定在凸多面体上，也就是向外凸的多面体。如果我们允许多面体向内凹的话，两个共用一条边的面可以形成小于180°的角，那么就会产生四个新成员，它们被称为正星形多面体，即大星形十二面体、小星形十二面体、大十二面体以及大二十面体。
在文艺复兴时期，工匠们想利用柏拉图多面体图形作为装饰，于是逐一发现了这些新多面体。开普勒也注意到，可以把固定高度的角锥体添加到正八面体、正十二面体和正二十面体的面上，这样的话，角锥体的侧面就会连成一个平面。他由此引出将多面体组合起来的概念，因此它们就有了交叉面，很像三维版的“大卫之星”（犹太教的标记，为两个正三角形叠成的六角星。——译者注）。这些可能性并没有像凸多面体那样被系统化地理解。
直到1810年，法国数学家路易·普安索（Louis Poinsot）的一篇文章中对其进行了说明7，所以这些立体图形也被称为“开普勒–普安索多面体”。其实，纽伦堡著名的金匠文策尔·雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）曾于1568年出版了《几何美学》（Perspectiva Corporum Regularium）一书，书中的图就已经预示到了这些图形。1812年，奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）才证明，普安索推测的四种立体图形就是三维空间里所有可能的星形多面体8。而这些略显奇怪的英文名字是在更久之后的1859年，由英国数学家亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）命名的。
如今，这些多面体对于数学家来说仍然具有美学上的吸引力和几何上的魅力9。一直以来，这些立体图形组成的模型都让人们惊艳于它们的美丽、对称性和简洁10。由此，我们似乎可以理解为什么人类一直执着于找寻身边的有限事物和永恒的几何和谐之间掩藏的超自然联系。这种几何和谐对于人类来说意味着来自宇宙的暗示。
上帝踢足球吗？
巴基球
上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球。
——哈里·克罗托
在研究了柏拉图多面体之后，阿基米德马上发现可以创造出13种半正多面体。只要对称地截掉立方体、角锥体、正十二面体、正二十面体和正八面体的顶点，就能创造出这五种相对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”。这些多面体的面仍然是正多边形，但这些多边形却不尽相同。它们的顶点都很相似，但面却不完全相同。仿照此法，也可以构建出另外八个阿基米德多面体。我们可以把它们看作继柏拉图多面体和星型多面体之后的第二对称多面体。
达·芬奇所绘的截角二十面体，这是他为帕乔利的书《神圣比例》绘制的插图
人们发现，某一个阿基米德多面体在宇宙中具有极特殊的重要意义，并且在近20年来的化学发展中有着举足轻重的地位。这个特殊的多面体就是阿基米德截角二十面体。它有60个顶点和32个面，每三个面相交于一个顶点，此外还有90条边。32个面中包含20个六边形和12个五边形，所以，每两个六边形和一个五边形相交于一个顶点。这是一种美丽的结构，但对读者来说，比起上述事实，大家马上能想到的恐怕是另一样东西。足球到了近代就变成了这种由黑色的五边形和白色的六边形组成的典型形状。
建筑师理查德·巴克敏斯特·富勒（Richard Buckminster Fuller）在他1949年设计的网球格顶中大量运用了二十面体的几何结构。富勒是一位自学成才的结构工程师，一直以来都努力通过数学上的对称来达到多重优化的目的，比如减少用料、降低组装难度以及加强结构的稳固性。他很欣赏妙用材料的方法，比如，一种材料在某种情况下可能极其脆弱，但只要按照适当的几何构型加以组织利用，就可以达到相当大的强度。蛋壳就是一个大家都熟悉的例子。
