对数换底公式详细推导,对数换底公式的推导

首页 > 经验 > 作者:YD1662022-11-07 05:29:28

欧拉公式:

对数换底公式详细推导,对数换底公式的推导(1)

它是最著名的公式之一,它说明了复指数函数和三角函数之间的关系。它还提供了笛卡尔坐标和极坐标之间的有效转换。因此,可以在许多数学分支,物理学和工程学中找到欧拉公式。

其中e是自然对数的底,i是虚数单位,并且θ∈C,e^i称为单位复数。

欧拉公式的证明:

欧拉公式的推导是基于指数函数e^z和三角函数sin(x)和cos(x)的泰勒级数展开,其中z∈C, x∈R。

指数函数e^z的泰勒级数展开我们得到:

对数换底公式详细推导,对数换底公式的推导(2)

现在,让z=ix有以下形式:

对数换底公式详细推导,对数换底公式的推导(3)

我们对上式进行化简,并且由于i^2 = -1得到:

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