2次方程求根公式,二次方程虚数根公式

首页 > 经验 > 作者:YD1662022-11-14 09:27:07

现在,花剌子模把求解方程式的问题几何化了,问题就变成:如果上述形状的面积为39个单位,那么x应该是多少呢?

2次方程求根公式,二次方程虚数根公式(5)

上面这幅图已经给出了十分清楚的提示,既然这个形状缺了一角,为什么我们不把它补全呢?补出这个小正方形之后,我们就得到了一个完美的大正方形。这说明什么呢?仔细看看下图。

2次方程求根公式,二次方程虚数根公式(6)

补足的这个小正方形的面积是5×5=25,也就是说,左图大正方形的面积是x2+10x+25,因为这个图形现在是边长为(x+5)的一个正方形。

通过这几步简单的处理,原来互相冲突的x2和10x,如今却携起了手,变成了一个简洁且容易处理的(x+5)²。这种“配方法”使得求根问题变得十分简单。

别忘了,在刚才的处理过程中,我们在方程式x2+10x=39的左边加上了25(即补足的小正方形的面积),为了让方程式仍然成立,显然在方程式的右边也应该加上25。因为39+25=64,处理过后的方程式就变成:

(x+5)²=64

这真是太简单了,只要方程式两边同时开平方,我们就得到了x+5=8,随后可以轻松地解出x=3。很显然,x=3正是方程x2+10x=39的解。3的平方是9,10×3=30,9+30正好等于39。

简单的代入验算明确无误地告诉我们,我们的解是完全正确的。

x=3是花剌子模给出的这个方程式的解。细心的读者可能已经发现,如果花剌子模参加现代的代数考试,那么这道题他只能得到一半的分数。花剌子模漏掉了方程的另一个解,也就是x=–13。我们可以把x=–13代入上述方程式,–13的平方数为169,–13的10倍为–130,169加上–130正好是39,显然–13也是这个方程式的解。在花剌子模的算法里,这个负数解被忽略了,从几何意义上来说,边长为–13的正方形并不存在,这可以说是古代代数的局限性。如今,代数已经不再那么依赖于几何,所以二次方程式的正数解和负数解都得到了认可。

在花剌子模之后的几个世纪中,数学家们逐渐认识到,只要接受负数解和负数的平方根(这个概念之前的章节中已有讨论),任何二次方程式都可以用上述的“配方法”求解。

对任意一个二次方程式ax²+bx+c=0(其中a、b、c为任意已知数,x为未知数)来说,求根公式可以表示为:

2次方程求根公式,二次方程虚数根公式(7)

经过本章的旅程,你是否对这个看似不太美观的公式有所改观了呢?它是多么直接和全面!不管方程式中的a、b、c是一些什么数字,方程式的解都可以用这个公式表示,一步到位,一目了然!a、b、c这3个数字是千变万化的,然而竟然有一个这样完美的公式,能够以不变应万变,举重若轻地把二次方程式的求根问题彻底解决。

如今,二次方程式仍是解决各类实际问题的不可或缺的工具。通过这个工具,科学家和工程师们能够分析无线电的收发、桥梁和摩天大楼的震动、篮球和炮弹的运动轨迹、动物种群数量的波动等。如果没有二次方程式,很多现实世界里的问题将会让我们一筹莫展。

从这个角度来看,二次求根公式虽然其貌不扬,却实在是一笔伟大的数学遗产和一个辉煌的数学传奇。

书摘信息:

书名:x的奇幻之旅

作者:【美】史蒂夫·斯托加茨

排版:沈消

译者:鲁冬旭

美编:琨琨

ISBN:9787508635163

2次方程求根公式,二次方程虚数根公式(8)

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