三角形角平分线交点定理,三角形角平分线定理

首页 > 经验 > 作者:YD1662023-04-03 13:12:26

三角形三条角平分线一定交于一点吗?如果交于一点,这个点叫做三角形的什么点或者什么心?

答案是,三角形三条角平分线一定交于一点,这个点叫做三角形的内心,即内接圆的圆心。

这个问题等价于:△ABC中,AD∠BAC的角平分线,BE∠ABC的角平分线,ADBE交于O。连接CO并延长与AB交于F。证明:CF∠ACB的角平分线。

三角形角平分线交点定理,三角形角平分线定理(1)

证明过程很简单,因为角平分线和线段长度相关的只有一个性质,那就是:“角平分线上的点到角的两边距离相等” !

证明:过O分别做BCABCA的垂线,垂足分别为P、Q、R

三角形角平分线交点定理,三角形角平分线定理(2)

因为AD∠BAC的角平分线,因此OQ=OR

因为BE∠ABC的角平分线,因此OP=OQ

于是有OP=OR,即CF∠ACB的角平分线。证毕。

如果以O为圆心,OP长度为半径做圆,那么该圆是三角形的内切圆。即三角形三条角平分线的交点是三角形的内心。

三角形角平分线交点定理,三角形角平分线定理(3)

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