5.等边三角形的概念和性质
(1)等边三角形
①概念:三边都相等的三角形是等边三角形.
②认识:它是特殊的等腰三角形,具备等腰三角形的所有性质.
(2)性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
(3)拓展:等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,它三边相等,三个内角相等,各边上的高、中线,对应的角平分线重合,且长度相等.
【例6】 如图,点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上,且BM=CN,AM、BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.
6.等边三角形的判定
(1)判定定理:①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
(2)判定方法:等边三角形的判定方法有三种:一是定义,另运用两个定理.
(3)拓展理解:对于判定定理①,有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形.
解技巧 巧用条件证明等边三角形 在证明三角形是等边三角形时,根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明.若已知三边关系,一般选定义法;若已知三角关系,一般选判定定理①;若已知该三角形是等腰三角形,则选判定定理②.
【例7】 如图,等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.
7.含30°角的直角三角形的性质
解技巧 巧用含30°角的直角三角形的性质 在有些题目中,若给出的角是15°角时,往往运用一个外角等于和它不相邻的两内角和将15°的角转化为30°的角后,再利用这个性质解决问题.
【例8】 如图,∠C=90°,D是CA的延长线上一点,∠D=15°,且AD=AB,则BC=__________AD.