机智的你可能已经发现，上面这些命题和我们的直觉是矛盾的。但是，数学家们经过思考提出，可以用我们习惯的办法作一个直观“模型”来证实它的正确性。
拟球曲面
1868 年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何学可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。他发现这里三角形的三个内角之和小于180°，这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现了第五公设不能被证明，同时也涉足了非欧几何学的研究。但高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向朋友表示了自己的看法，并没有公开支持罗巴切夫斯基的新理论。
黎曼几何学
那么既然我们能把第五公里改成“过一点，有多条直线与已知直线平行”，是不是也可以改成“过一点，没有直线与已知直线平行”呢？
于是，有个叫黎曼的聪明人，结合欧式几何的前四条公里加上“过一点，没有直线与已知直线平行”创建了自己的几何——黎曼几何。比如，在一个球面上，过直线外一点所画的直线一定与已知直线相交。所以黎曼几何又称椭球几何。
##可能会有人说地球仪上的纬线是平行的呀？！但是注意曲率展开后的纬线是弯的，纬线上任意两点最短连线不是纬线本身，当然赤道除外。球面上的直线只有大圆。##
在航海学上黎曼几何也得到了广泛应用。地球本身就是曲面的，如果使用欧式几何，只会得到错误的结论。
Credit：B站 肉兔君
近代黎曼几何学在广义相对论里得到了重要的应用。物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空是弯曲的，这恰恰是和黎曼几何学的背景相似。正因为如此爱因斯坦在看到了罗巴切夫斯基和黎曼的发现之后，才会欣喜若狂，他终于找到了一种可以解释相对论的数学工具了。
