人们在研究事物时，总喜欢去探索本源，而这通常就需要对事物进行分解，比如物理学就致力于寻找构成物质的基本粒子。数学家们也一样，在研究自然数时，也希望能够找到构成自然数的“基本粒子”，通过对自然数的分解，探究“最基本的数”，这也是本文的主旨内容，也就是讲解合数与素数。
素数指的是大于1的且只能被1和自身整除的自然数，其他的大于1的自然数被称为合数。举例说明：最小的素数是2，因为只有1和2这两个因子；最小的合数是4，因为它的因子包括1，2，4.我们认为素数是不可分的，也即不能分解成其他数的乘积，但合数能够分解成其他素数的乘积，所以，素数就好比是自然数的“基本粒子”。这样的“基本粒子”有多少个呢？这是数学家们很自然就会想到的问题，第一个解决这个问题的是欧几里德（约公元前330-公元前275，中国战国中后期），用的是反证法，参考如下：
假设素数的个数是有限的，总共有n个，按大小依次排列为,构造一个数，它是所有素数的乘积再加上1，如，很显然a不被任何一个素数整除，更不可能被任何合数整除，因此，a也是素数，假设即不成立，素数是无限多个的。
但是，如上构造法得到的数并非一定是素数，我们以20以内的素数来举例计算：
其中，,即不是素数。如何寻找素数是数学家几千年一直努力的方向，最早的寻找方法叫做“筛法”，也是比较原始的方法，举例寻找20以内的所有素数，先把20以内的自然数（1去掉）依次排列如下：
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20
第一步，去掉所有2的倍数，得到2，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
第二步，再去掉所有3的倍数，得到2，3，5，7，11，13，17，19
然后，依次去掉所有5的倍数及其他素数的倍数，本例中最终结果是：2，3，5，7，11，13，17，19。
但是这样的方法确实太慢了，数学们希望能够找到更快速的方法来寻找素数，比如著名的业余数学大师费马（1601-1665，明朝万历29年-清朝康熙4年），他在中国最广为人知的是以他命名的费马大定理，他提出一个公式来产生素数，并自认是正确的，这个公式如下：
,费马算出了前4个数，均为素数，如下：
但是，号称所有人的老师的欧拉（1707-1783，清朝康熙46年-乾隆48年）算出第五个数，立马推翻了费马的结论，，再往后算得到结果也不是素数，如。
另一个构造素数的方法是,梅森（1588-1648，明朝万历16年-清明顺治5年）与费马通信探讨过这个公式，并经过四年研究，得到结果当n=2，3，5，7，13，17，19时，这个公式计算所得的数是素数，同时，猜想n=31,67,127,257时，所得的数也是素数（人们称这种素数为梅森素数），但是，1930年，数学家科尔算出,推翻了梅森的猜想。2016年，美国数学家库珀发现第49个梅森素数，即,这个素数有22338618位。借助计算机强大的计算能力，帮助人们继续寻找更大的梅森素数，“互联网梅森素数大搜索”（简称GIMPS）项目动用180个国家和地区超过27万人，70万台计算机来寻找梅森素数。
数学们至今都未能找到一个行之有效的产生素数的方法！
