图3.菲尔兹奖章的背面.图片来源：维基百科
在菲尔兹奖章的背面有一行拉丁文，意思是“汇聚全世界数学家，表彰杰出工作”。而菲尔兹奖得主本人的名字，以及得奖年份是刻在奖章的侧边上，是很小的一行字。除此之外，奖章背面还有几束橄榄枝，橄榄枝后面被遮住了一部分图形，这就是我们今天要重点讨论的内容。被遮住的这个东西其实是一个圆柱，圆柱里面内切了一个球。
这个东西是什么呢？它是阿基米德的墓碑。阿基米德最先发现了球的体积公式，他把发现的结果表述为“球的体积是容纳球的最小圆柱体积的”.这是他一生最珍视的结果，所以他把这个结果刻在自己的墓碑上。当然现在这个墓碑已经找不到了，但是它刻在了数学界最高奖的奖章上。
图4.容纳球的最小圆柱.图片来源：文献[1]
我们都在高中学过球的体积公式，知道球的体积 等于，其中 是球的半径。那么问题来了，阿基米德为什么不直接写出这个公式作为球的体积公式，而是看似“多此一举”地额外引进一个圆柱呢？这里我稍微解释一下，因为在古希腊的时候，数学约等于图形几何学,我们知道平面几何的逻辑体系就是古希腊数学家整理出来的，可以说它们对几何图形的研究已经炉火纯青，相比之下代数学就没发展得那么好。那时候的数学家习惯用图形之间的关系来表达公式、呈现推理.在18世纪早期人们才第一次用 π 来表示圆的周长与直径之比(欧拉推广了这个记号).阿基米德出生得太早了！
其实稍微想一下就可以知道阿基米德的结果和我们现在已知的球的体积公式是等价的：圆柱的地面半径为 ,高为 ,可得圆柱的体积是 .圆柱体积的是.
图5.
对于现在来说，阿基米德的结果已经是大一学生或者高三学生的一个简单的定积分习题：如图5所示,设经过球心的水平面高度为0 .在高度 处切一片圆盘薄片,截面半径设为 ,厚度是无穷小量 ,则圆盘薄片的体积忽略高阶无穷小量后可以视为 ,由勾股定理,圆盘薄片的体积是 .然后，将所有薄片的体积从高度 0 开始积分，一直积到高度r ,可得半球的体积等于定积分
拆开可得
由牛顿-莱布尼兹公式,或者说微积分基本定理,可得结果等于.所以球的体积是,干净利落地得到了结果. (注：以上推导过程合并起来叙述如下：
)
当然,这些结果都是基于后来数学的发展之上的,比如积分号是莱布尼兹引入的，而微积分基本定理是牛顿和莱布尼兹发现的.阿基米德本人不可能这样做.下面我们来介绍阿基米德的独特方法.
图6.图片来源：文献[1]
如图6,阿基米德将球面看作圆绕其直径 AB 旋转一周所得, 而且设想球体由垂直于直径 AB 的薄片堆积而成，下面这幅将苹果切成片的图是一个形象的展示.
