图7.
当然，我们实际上切成的薄片要薄得多，以至于每个薄片的厚度是个无穷小量.就像图8里这样,我们可以用金黄的颜色标出其中一块薄片的边缘.
图8
这样看来,线段实际上是通过球心的.如图6,过上任意一点，选取一片垂直于的薄片， 是薄片边缘上的一点，则薄片的截面积可以看作 ，薄片厚度是无穷小量 .则将所有薄片体积求和，忽略高阶无穷小量，结果就是球的体积: 球的体积
由勾股定理，,所以球的体积进一步表示成
而且我们发现三角形 和三角形相似,因此
即 ,把它代入球的体积表达式，可得
这样，问题就转化为如何求 和 .
然后阿基米德有一个重要观察：阿基米德发现， 是有几何意义的，它是某个圆锥的体积！
图9
这个圆锥可以这样构造：如图9所示,过直径上的任意一点 作直径 的垂线段，垂线段延申到点，使得 .当 在线段上到处移动，以至于遍历线段上的每一个点时，线段拖出一个阴影区域，是一个等腰直角三角形.然后将等腰直角三角形绕轴旋转一周，就得到了想要的圆锥.
事实上,对于构造出的这个圆锥来说，如果也把它分成无数片垂直于轴的圆盘薄片，那么经过点的薄片面积是 ,薄片的厚度是无穷小量 ,因此忽略高阶无穷小,可得薄片的体积是 .将所有薄片的体积求和,即可得圆锥的体积 .
而阿基米德和当时的数学家已经知道，圆锥体积是等底等高圆柱体积的.对于我们构造出的这个圆锥来说，与它对应的同底等高的圆柱的底面半径是容纳球的最小圆柱半径的2倍，高相等，因此与圆锥同底等高的圆柱的体积是容纳球的最小圆柱体积的4倍.所以，我们构造出的圆锥的体积是容纳球的最小圆柱体积的倍.这样我们就把等式(1)变成
现在阿基米德剩下最后一个任务，那就是求 .为此他借助了他自己发现的杠杆原理. 我们都知道阿基米德说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句话说的其实就是他发现的杠杆原理.
图10.图片来源：网站[2].
复习一下，杠杆原理说的是，给一个支点，支点上放一根重量不计的杠杆，杠杆两边放两个重物A,B.则杠杆保持平衡的条件是A 的质量乘以A 到支点的距离，等于 B的质量，乘以 B到支点的距离.
