天元术
在解方程方面，贾宪给出增乘开方法，刘益则用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题。至此，一元高次方程的建立和求解都已实现。而线性方程组古已有之，所以具备了多元高次方程组产生的条件。李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰的四元术正是对二元术、三元术的总结与提高。由于四元已把常数项的上下左右占满，方程理论发展到这里，显然就告一段落了。从方程种类看，天元术产生之前的方程都是整式方程。从洞渊到李冶，分式方程逐渐得到发展。而朱世杰，则突破了有理式的限制，开始处理无理方程。
无理方程
其次是高阶等差级数的研究。沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式。朱世杰则在此基础上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题，从而发现其规律，掌握了三角垛统一公式。
他还发现了垛积术与内插法的内在联系，利用垛积公式给出规范的四次内插公式。第三是几何学的研究。宋代以前，几何研究离不开勾股和面积、体积．蒋周的《益古集》也是以面积问题为研究对象的。李冶开始注意到圆城因式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形。
《益古集》
朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论，而且在李冶思想的基础上更进一步，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了两个重要定理——射影定理和弦幂定理。他在立体几何中也开始注意到图形内各元素的关系．朱世杰的工作，使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部，体现了数学思想的进步。
四、著名轶闻
13世纪末，历经战乱的祖国为元王朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。蒙古统治者为了兴邦安国，便尊重知识，选拔人才，把各门科学推向新的高峰。有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术”。
不几天，朱世杰门前门庭若市，求知者络绎不绝，就在朱世杰在接待学生报名之时，突然一声声叫骂声引起他的注意。只见一穿绸戴银半老徐娘，追着一年轻的姑娘，边打边骂：“你这贱女人，大把的银子你不抓，难道想做大家闺秀，只怕你投错了胎，下辈子也别想了。”那姑娘被打得皮开肉绽，连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团，任凭她打，也不跟她回去。朱世杰路见不平，便上前询问，那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人，就嘲笑道：“你难道想抱打不平，你送上50两银子，这姑娘就归你了！”朱世杰见此情景，大怒道：“难道我掏不出50两银子。光天化日之下，竟胡作非为，难道没有王法不成？”那半老徐娘讽刺道：“你这穷鬼，还谈什么王法，银子就是王法，你若能掏出50两银子，我便不打了。”
朱世杰愤怒已极，从口袋里抓出50两银子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教书之地。原来，那半老徐娘是妓女院的鸨母，而这姑娘的父亲因借鸨母的10两银子，由于天灾，还不起银子，只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。后来，在朱世杰的精心教导下，这姑娘也颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，不几年，两人便结成夫妻。所以，扬州民间至今还流传着这样一句话：元朝朱汉卿，教书又育人。救人出苦海，婚姻大事成。
五、扬州轶事
据此我们知道，朱世杰出生在北京地区，十三世纪后期，他作为数学名家周流大江南北20余年，朱世杰最后寓居扬州，从事数学的研究和讲学，他吸引了众多学者聚集在扬州从事学术交流。扬州处于南北交汇之地，各种学术思想在这里融会贯通；当时，扬州的印刷业又十分发达，是全国的书籍出版中心，体现朱世杰数学成就的两部著作《算学启蒙》和《四元玉鉴》，就是于元大德三年（1299年）和元大德七年（1303年）在扬州刻印出版的。《算学启蒙》全书共3卷，分为20门，收入了259个数学问题。
全书之首，朱世杰给出了18条常用的数学歌诀和各种常用的数学常数，其中包括：乘法九九歌诀、除法九归歌诀（与后来的珠算归除口诀完全相同）、斤两化零歌诀，以及筹算记数法则、大小数进位法、度量衡换算、圆周率、正负数加、减、乘法法则、开方法则等。正文则包括了乘除法运算及其捷算法、增乘开方法、天元术、线性方程组解法、高阶等差级数求和等，全书由浅入深，几乎包括了当时数学学科各方面的内容，形成了一个较完整的体系，可以说是一部很好的数学教科书。清代扬州学者罗士琳说，《算学启蒙》“似浅实深”，这样的评论是十分中肯的。
《四元玉鉴》是朱世杰阐述多年研究成果的一部力著。全书共分3卷，24门，288问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题（需设立四个未知数者）有7问，三元者13问，二元者36问，一元者232问。卷首列出了贾宪三角等四种五幅图，给出了天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例；后三者分别是二元、三元、四元高次方程组的列法及解法。创造四元消法，解决多元高次方程组问题是该书的最大贡献，书中另一个重大成就是系统解决高阶等差级数求和问题和高次招差法问题。在朱世杰之前，中国古代数学已有了解方程的方法——“天元术”，“天元术”解方程是设“天元为某某”，某某就是（x）。
朱世杰不仅继承沿用了天元术，方程组解法由二元、三元推广至四元。未知数不止一个时，除设未知数天元（x）外，还设地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。在欧洲，解联立一次方程始于16世纪，关于多元高次联立方程的研究则是18、19世纪的事了，朱世杰的“天元术”比欧洲早了400多年。朱世杰对“垛积术”的研究，实际上得到了高阶等差级数求和问题的普遍的解法。自宋代起我国就有了关于高阶等差级数求和问题的研究，沈括（1031-1095年）和杨辉（1261-1275年）的著作中，都有垛积问题，这些垛积问题有一些就涉及高阶等差级数，朱世杰在《四元玉鉴》中又把这一问题的研究进一步深化，得到了一串三角垛的公式。
三角垛
《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作。现代数学史研究者对《四元玉鉴》给予了高度评价。著名科学史专家乔治•萨顿说，《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。编著《中国科学技术史》的李约瑟这样评价朱世杰和《四元玉鉴》：“他以前的数学家都未能达到这部精深的著作中所包含的奥妙的道理”。
遗憾的是，朱世杰之后，元代再无高深的数学著作出现，汉唐宋元的数学著作很少有新的刻本，很多甚至失传了。乾隆三十七年(1772年)开《四库全书》馆时，挖掘了不少古代数学典籍，朱世杰的著作却未被发现，因此，起初没有编入；1799年阮元、李锐等人编纂数学家传记《畴人传》时，也未介绍《四元玉鉴》。之后不久，阮元在浙江访得此书，旋即将其编入《四库全书》，并把抄本交给李锐校算（未校完），后由何元锡按此抄本刻印，这是《四元玉鉴》1303年初版以来的第一个重刻本。
