圆锥体积为什么是圆柱的三分之一,圆锥体积为什么是圆柱三分之一

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

中考结束的那年暑假，我写了一篇小论文，后来我才知道所谓的“发现”其实是帕普斯-古尔丁定理。

我最初的问题是圆锥体积为何是等底等高圆柱体积的三分之一，这促使我开始思考面积、体积的含义。

当时我的好朋友他说可以把圆锥横切成片，每一片近似于高为的圆柱，然后再累加起来。切分的越密，体积就越精确。如果用极限语言来表示：

其中是圆锥半截面夹角的正切值。带入上述关系后，最终问题归结于求极限：

当时我们上网还不方便，也没有足够多的课外数学书，我们还不了解这个求和公式：

代入这个公式，相信当时理解极限也并不困难

朋友说这个极限就是1/3，我说这个怎么算，他的回答语焉不详。显然我对这个结果不是很满意，我在想有没有比较几何一点的方式去理解呢？

没过多久，我们开始初三总复习，当时有一道关于三角形重心的几何题：过三角形重心做射线平行于任意一边，被一侧的边所截取的线段，其长度是其平行边的三分之一。

这个命题的证明很简单，其等价于三角形重心三等分中线。到了高中学习平面向量知识后，容易证明重心的坐标公式

当时看到这个习题后，我当时就觉得我可能找到了问题的答案。