几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师，满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到从远处传来熟悉的笑声，转身一看竟是前几天在街头偶遇的女孩，这才明白过来，笛卡尔慌忙行礼却被公主拦了下来，并说到；“哪有老师向学生行礼的，还请老师入座吧”，接着又聊起了数学问题。
从此，他就成了公主的数学老师。公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间的关系也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它就可以让代数和几何结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天和笛卡尔形影不离，这也使他们彼此产生了爱慕之心。
就这样在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹的爱情悄然萌发。然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里，国王勃然大怒，并下令马上将笛卡尔处死。克里斯汀苦苦哀求父亲放过笛卡尔，并承诺不再和笛卡尔见面，国王这才饶恕了笛卡尔，并将他放逐回国，公主也被软禁在宫中。
身体孱弱的笛卡尔回到法国后，因为当时正在流行黑死病，他不久便染上重病。在生命的最后时光里，他日夜思念公主，每天坚持给她写信，盼望着她的回信。然而，这些信都被国王拦截下来，公主也一直没有收到他的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出最后一封信后，带着对克里斯汀的思念，他永远地离开了这个世界。此时，远在瑞典宫中的小公主还不知道恋人的离去，只是整天坐在窗前看着去往法国的方向，回想着和笛卡尔的点点滴滴。
在笛卡尔寄出的最后的一封信上他没有写一句话，只有一个简单的数学公式；r=a(1-sinθ)。信传到国王手里国王也看不懂，他召集全城的数学家到皇宫，但是没有人能解开。国王看着自己的女儿整天郁郁寡欢，茶饭不思，便心生怜悯把这些信给了她，希望女儿能高兴些。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她一封一封地读着笛卡尔的信，眼角的泪水早已汇成溪流，当她读到最后一封信时，她疯了似的找来纸和笔，一双因激动而颤抖的手，在纸上画了起来，在被泪水浸湿的纸上，依稀可以看见一颗心型图案。
笛卡尔对克里斯汀的爱汇聚成了一个公式，一句只有他们才懂得情话。这条曲线就是著名的“心形线”。
