赤道是最短的经线吗,赤道是南北纬的什么线

首页 > 经验 > 作者:YD1662024-02-24 06:29:42

三角形的内角和是多少?180°。这是教科书里给出的答案,也是几何学出现以来的这两千多年里,人们头脑中唯一正确的答案。但俄国一位年轻的数学家首先打开了人们封闭的思想,带来了几何学上划时代的发展。之后,有关这个问题的答案就有无数个了,也就是说,三角形内角和可以是一定范围内的任意度数!180°的情况只是一个很特殊的情况。

让我们一起走入怪异的几何世界,感受这场几何学世界里的风暴吧。

赤道是最短的经线吗,赤道是南北纬的什么线(1)

俄国数学家的大胆质疑

上过中学的人都学过几何学,也许现在还记得其中的一些公理或定理,比如“两点确定一条直线”、“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行(不相交)”,等等。这些是公元前3世纪一位叫欧几里得的古代数学家总结的几何学,是靠5个公理建立起来的。对于这些公理,也许我们从没有怀疑过。两千多年来,也没有人怀疑它们,只是对于“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行(不相交)”的平行公理(图1),人们却不知如何去证明它,不知有多少研究者试图证明,但都没有成功。

1815年,年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(1792-1856)也想证明它,不过他并没有去重复前人的工作,而是从前人的失败中寻找启迪。他发现这个公理无论怎么证明都证不出来,于是就大胆地质疑:“有没有可能这个公理不成立呢?”

他大胆而又创造性地假设平行公理不成立,“过直线外一点,至少有两条直线与该直线不相交。”(图2)他用这样一个与平行公理对立的理论去代替平行公理,并保留欧式几何的其它4个公理不变,然后进行推理,竟然推出了一系列怪异的结论。

赤道是最短的经线吗,赤道是南北纬的什么线(2)

比如说,三角形内角和不再是180°;存在边长无限长的三角形……这些理论虽然怪异,但相互间并不矛盾,也不违背逻辑。这些推理完全可以自成一套新的几何理论,很完整也很严密。罗巴切夫斯基把它叫做“新几何”。

罗氏新几何的很多结论显然是违背传统几何的,因此,当时的数学家高斯把它称为“反欧几何”,后又改为“非欧几何”。非欧几何让人们认识到,除了传统欧式几何外,还可以有其它的几何,人们的思想变得活跃了,一个广阔的几何世界的大门被打开了。

曲面上的新几何

要想理解非欧几何,首先要弄清楚什么是直线。

在传统欧式几何中,并没有给出关于点或直线的准确定义,但通过很多理论的表述,可以理解为直线是两点间最短的线。由此可见,直线未必就不是弯曲的。比如说,光线的传播走的都是最短的直线距离,但光线传播的轨迹因时空的不均匀,往往是弯曲的。

赤道是最短的经线吗,赤道是南北纬的什么线(3)

除了高斯之外,最早能够理解非欧几何的是意大利数学家贝尔特拉米,他在1868年找到了一种像两个喇叭对扣的曲面(图3),在这种曲面的部分区域上,适用于非欧几何,从而使其他数学家对非欧几何也能理解。其实类似马鞍面的双曲面(图4)就可以完全适用于非欧几何。

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