那么，测得的海岸线长度在不断增长，最后会不会趋于某个固定值呢?不幸的是，美国数学家曼德勃罗却证明，当把所用的测量尺子变小时，海岸线长度根本不会趋于某个固定值，而是会无限地上升，当尺子变得无穷小时，海岸线就变得无限长了。
其实这个结论我们也可以在科赫曲线中找到。假设等边三角形原先的边长是1米，那么我们用1米的尺子去测量科赫曲线，其周长是3米，中间我们忽略了所有的细节;当我们用1/3米的尺子去测量，稍增加了一点细节，其周长是4米;当用1/9米的尺子去测量，其周长是16/3米;当用米的尺子去测量，其周长是米;当n趋于无穷，尺子变得无穷小，包含的细节越来越多，结果其周长也趋于无穷大了。
海岸线与科赫曲线的相似之处在于，经过海水长年的侵蚀，在海岸线上，凹凹凸凸的地方特别多。随着测量越来越精细，海岸线长度就会成千上万倍地增加，而不仅仅只是在小数点后面修正几个数字的问题。
所以你看到了吧，泛泛地说海岸线多长是没有意义的，海岸线的长度依赖于测量时所用的尺子。
维度也可以是分数
分形几何还改变了我们对维度的认识。
众所周知，传统的观点认为，维度都是整数：点0维、直线1维、平面或者球面2维、我们所生活的空间3维，在相对论里，时间和空间被统一成了一个整体，所以时空是4维的……在超弦理论里，甚至还有10维的高维空间。但不管怎么说，维度都是整数。
分形几何学认为，不仅一些量的值(比如海岸线长度)与测量关系密切，连维数也与测量有关。譬如，当我们画一根直线，如果用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点;如果用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，这里，直线的维数为1(介于0维和2维之间)。
对于上面提到的科赫曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段度量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0，那么可见其维数介于1和2之间。在分形几何学里，有严格的维数计算办法。譬如，根据计算，科赫曲线的维数是一个分数，其值是大约是1.26。维度可以是分数，这是分形几何带给我们的一个全新的观念。
我们还可以这样去理解分数维度。曼德勃罗曾描述过一个毛线球的维数变化：从很远的距离观察，比如坐飞机从高空看，这个毛线球可看作一个0维的点;从较近的距离观察，它是3维的一个球;再近一些，比如你化作一只蚂蚁，沿着毛线爬，那它又变成1维的一根绳子了;如果你变得再小呢，这根绳子对你来说太粗，又变成了3维的柱子……总之，维度随着你观察的远近和自身大小在不停变化。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?
显然，毛线团并没有从3维变成1维的确切界限，在过渡的状态中，它的维度就变成了分数。
在大自然中，不仅海岸线，云朵、山脉的轮廓线、闪电、雪花，甚至花椰菜都具有分数的维度。因为用分形几何来描述这些自然物更加准确，所以分形几何被喻为“大自然自身的几何学”。
前面谈到的这些怪异的几何，几乎都可以在现实世界里找到事物来对应。其实并不是几何很怪异，而是我们“没见过世面”，按传统平面几何的思维逻辑来理解世界，遇到反映现实世界的几何，反而觉得怪了。
恰恰相反，欧氏平面几何才是最特殊、最理想状态的“怪异”几何，因为现实宇宙中几乎没有真正的平面。可有趣的是，我们不仅在2000多年的时间中只使用平面几何，而且现在还少不了它，原因是平面几何相对简单，有时候我们也不求精确，只要能近似简单化处理问题就行了。
