很显然，马鞍面上的点、线、面之间的关系确实是罗巴切夫斯基所描述的那样：
两条平行线，在一侧无限接近，而在另一侧无限远离;
三角形的三个内角之和小于180°;
存在边长无限而内角和为零的三角形(图5)。
除此之外，还有许多怪异的现象。比如，在欧式几何中，垂直于同一直线的两条直线互相平行，而在非欧几何中，垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，相互间可以越来越远离;在欧式几何中，存在相似的多边形，而在非欧几何中，不存在相似的多边形;等等。总之，在欧式几何中，凡涉及到平行公理的理论，在非欧几何中都不成立，它们都相应地有新的含义。
球面几何才更符合实际
其实说起非欧几何，人们首先想到的是黎曼几何，黎曼几何因被爱因斯坦用来创立著名的广义相对论而出了名。
黎曼几何是非欧几何进一步发展的形式，适用的范围更大，它包括前面的双曲几何的情况，除此之外，还有封闭曲面上的几何，例如椭圆面几何、球面几何等。其中以球面几何最令人关注。
球面几何在我们看来也是非常怪异的几何，有很多怪异的理论，例如：直线的长度是有限的，封闭的;两点之间最短的线不是直的，而是弧线;过某些特殊的两个点，可以有无数条直线;过直线外一点，没有直线与该直线平行;任意两条直线必相交于两点，没有平行的概念;三角形内角和大于180°;不存在相似的三角形;等等。
读者可以在球面上试验一下这些结论，确实是这样的。因为球面上的直线就是一个大圆(过球心的平面与球面相交的圆)，是封闭的，所以球面上两点间最短的线(即球面几何里的直线定义)是大圆上这两点之间的弧;同时，球的直径与大圆会有两个交点，通过这两个点可以作无数条直线(大圆)，就像通过地球南北极可以有无数条相对应的、能把地球平均分成两半的经线一样;如果在经线之外有一个点，通过这一点，我们所作的直线可以有无数条，都是与这条经线相交的，没有平行的，并且有两个交点;而且，无论怎么画，在球面上画出的三角形内角和都是大于180°，如东经1°和2°的经线与赤道线会形成大小两个三角形，小三角形的顶角是1°，两个底角都是90°，所以小三角形内角和是181°。而外面的大三角形的顶角是359°，两个底角都是90°，所以大三角形的内角和是539°;而0°与东经180°形成的三角形的顶角是180°，两个底角都是90°，所以这个三角形内角和是360°。
其实宇宙中大部分天体都是球体，牵扯到这些天体的几何学，需要用球面几何。我们的地球本身就是个球，应该适用球面几何，为什么我们长达2000多年坚持欧式平面几何，甚至非平面几何出现后，我们还很不理解呢?
也许相对于渺小的我们来说，地球太大了，用平面几何来近似处理地球上小范围的尺寸也没有明显的误差，于是也就想当然地以为欧式平面几何是唯一正确的几何了。其实不然。
把地球表面投影到圆柱上
随着非欧几何出现，19世纪还出现了一种几何叫射影几何。这种几何是非常贴近生活的，它研究的是投影现象，比方说，有一盏灯, 它照射在透明玻璃上, 那么玻璃上的图形在地面上的投影是怎样的?
例如，如果玻璃不平行于地面, 玻璃上两条平行直线在灯光下的投影可能不再平行;玻璃上的圆在灯光下的影子一般不再是圆, 而是椭圆;更奇异的是，如果玻璃足够大，它上面的一个圆也足够大, 玻璃竖立起来后，如果灯的高度不超过圆的高度，那么这个圆在地面上的投影就会是双曲线的一支!在射影几何中，椭圆、双曲线、抛物线都是“全等”的图形，可以通过调节灯光的角度，让它们相互变换，例如圆的影子在一定情况下就可以是一条双曲线，而且调节灯光的角度，还可以让影子双曲线变大、变小，或改变形状。
还有一种射影几何，是研究无限远灯光投影下的图形是怎么变化的。如果把上面的灯换成太阳, 由于距离地球很远，在小范围内可以看做平行投影，玻璃上两条平行直线投影到地面上也会是平行直线，玻璃上的圆会投影为椭圆, 但决不会是双曲线。
射影几何是非常有趣的几何，普通的物体可以有怪异的投影，完全不同的物体，也许投影却是相同的。
在地图的绘制上，射影几何很有用，因为地图的绘制都需要一定的投影规则，例如航海上常用的墨卡托投影地图，就是假设地球被围在一中空的圆柱里，赤道线与圆柱壁垂直，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱面上，再把圆柱面展开，得到地图。这种地图优点是把球面变成平面，比较直观。缺点是靠近赤道线的比较符合实际，但越靠两极就越走样了。
无限周长，面积有限
20世纪70年代，出现了一种更怪异的几何——分形几何。“一个有限的面积，却有着无限长的周长”和“一个物体有着无限大的表面积，体积却为零”，这两种情况可能让人难以理解，但在分形几何里，这样的情况却比比皆是。
取出笔和纸，让我们现在就来画一个有着无限周长的图形(有限面积当然不用说了，你不可能拿出一张面积无限大的纸)。
第一步：画一个等边三角形。
第二步：把每条边三等分。
第三步：以中间的那条三等分线段为底边，向外画一个小的等边三角形。
第四步：画完之后，把这条底边擦去。
不停地重复以上第二到第四个步骤，你将得到一个雪花形状的曲线;重复无限多次，得到的曲线在数学上叫科赫曲线。
我们来看一下科赫曲线有什么特点。首先，每重复操作一次，它的周长就扩大4/3倍，重复n次，其周长将是最初周长的。当n趋向无穷时，其周长也趋于无穷大。
但是，它所包围的面积却增加得并不多，永远不会超过以原先三角形中心为圆心，中心到顶点的距离为半径的圆的面积。这一点，你在画图的时候可以验证。经过简单计算可以得到，当n趋向无穷时，科赫曲线所围的面积是最初三角形面积的8/5倍。
你瞧，科赫曲线就是这样一个例子：它有着无限长的周长，但同时所围的面积却是有限的。
如果把科赫曲线的任意一个微小部分放大，你会看到，不论这个部分有多么小，它的形状都和整体相似。这是分形几何图形的一个特点：不论怎么复杂，局部总与整体相似;适当地放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。这叫自相似性。
其实，自相似性对于我们并不陌生。生活中很多事物都具有自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相似的磁场。
海岸线长度取决于尺子
我们在中学地理课上大概都学过，我国大陆海岸线有18000多千米，岛屿海岸线有14000多千米……不过，这种说法可靠么?
为什么要提这个问题呢?看了下面这个例子你就知道了。
1920年代，一位英国科学家在调查海岸线和曲折的国境线时感到十分困惑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时等国的百科全书，发现这些国家对共同边界长度的估计相差20%。原因何在?原来是这些国家传统上所用的长度标准不同造成的，换句话说，即使同一段边境线，测量时若所用的尺子长短不一，也会造成很大的测量误差。
这个道理是比较明显的。我们试想：一个测量员拿着一只两脚规，把它张成一米宽，去一步步测量一条海岸线。对于他来说，即使连接相邻两点的是一条弯弯绕的曲线，但在测量过程中，也被当作一条直线忽略过去了。这样，他测量得到的海岸线长度肯定要比实际的短。
如果他把圆规张成1/10米宽，那么他的测量就会反映出更多的细节，这时他测得的海岸线长度将比以1米为单位测得的长度要长。
如果他把圆规张成1/100米宽，那测得的海岸线长度将更长……总之，他用的测量尺子越小，所测量到的海岸线长度就越长。
