圆的外切四边形的对角线,圆的内接正方形的对角线

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所以

总结：单单利用一次托勒密定理，我们仅能求得AC·BD，离结果感觉似近实远。通过构造新点，3次利用托勒密定理，求得等式，我们就得到求已知四边长的圆内接四边形的对角线长度的通用公式。

证明二

对圆内接四边形ABCD，用托勒密定理有

ac bd=mn (4)

式子中AC=m，BD=n.

又S△ᴀʙᴅ S△ʙᴅᴄ=S△ᴀᴅᴄ S△ᴀʙᴄ，

而S△ᴀʙᴅ=(adn)/(4R)，

式中R为△ABD外接圆半径，也为四边形ABCD外接圆半径，则有