以下文章来源于zzllrr小乐 ，作者zzllrr小乐
zzllrr小乐.
《小乐数学科普》，公益翻译普及国外开放数学为主，提炼古今中外数学思想，助你成为各行业翘楚。zzllrr小乐，小乐数学zzllrr Mather（开源数学软件）、小乐RSS阅读器、小乐图客zzllrr Imager Geek等原创项目作者。
作者：James Propp 詹姆斯·普洛普（马萨诸塞大学洛威尔分校数学教授） 2023-6-16
译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号） 2023-6-20
“矩阵是什么” — 墨菲斯，黑客帝国（电影The Matrix 1999）
矩阵是一个矩形的数字数组，但一个矩形的数字数组只有在你以正确的方式思考它时才会变成矩阵。我后面会回到墨菲斯的反问。矩阵在科学和技术中无处不在，从生态学到经济学再到数据科学。我将告诉你如何将矩阵相加（以你可能期望的方式）以及如何将它们相乘（以你可能不会想到的方式）。我不会告诉你矩阵代数是如何发明的，因为它太尴尬了——不是对我个人，而是对整个数学专业。线索无处不在，尤其是在现代代数开始之后，但我们忙于研究二次多项式（x⊃2; xy y⊃2;等），其中变量被提高到2次幂或乘以其他变量（然后相加），我们没有对变量乘以常量的线性多项式（2x 3y等）给予足够的关注。如果我们更深入地思考微小的事情，现代矩阵理论可能在几个世纪前就被发明出来了。
想想两千年前的中国，事情进展得如此顺利，当时有一种求解线性方程组的流行热潮！
好吧，最后一句话可能有点夸张了。我们所知道的是，两千年前有一部著作叫《九章算术》（又名《数学艺术九章》）。这是一本实用的数学手册，其中有一章非常“不实用”，专门讨论线性方程组。当然，实用性是一个见仁见智的问题，所以请告诉我你对这个问题的看法：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；
上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗。
问：上等、中等、下等谷每束各是几斗？
“有三种粟谷，第一种3捆，第二种2捆，第三种1捆，总数是39斗。第一种2捆，第二种3捆，第三种1捆，总数是34斗。第一种1捆，第二种2捆，第三种3捆，总数是26斗。每种类型的一捆粟谷各有多少斗？”
我发现很难想象农民或商人必须解决这种问题的情况。在我看来，本章的作者给出了解决此类问题的方法，不是因为问题紧迫，而是因为解决方法似乎很吸引人。
方程术（Fang Cheng）
对于我们现代人来说，关于玉米的这个问题可以摆脱它的农业特征，直到只剩下它的代数内核：“我在想三个数字 x、y 和 z，使得 3x 2y z = 39，2x 3y z = 34，x 2y 3z = 26。什么是 x、y 和 z？”这三个方程中的每一个都是线性方程，即仅涉及常数（见方程右侧）和形式为 ax by cz 的表达式的方程，其中 a、b 和 c 是称为系数（coefficients）的常数（见方程的左侧）。这个问题的答案是 x = 37/4，y = 27/4，z = 11/4。如果给定 x、y 和 z，则很容易计算 3x 2y z、2x 3y z 和 x 2y 3z。但是反过来呢？
这是数学家称之为逆问题（反问题 inverse problem）的一个例子。当有人用三个数字 3x 2y z、2x 3y z 和 x 2y 3z 替换x,y,z时，他们就执行了数学家所说的在原来的三种数字上做了一种线性变换（linear transformation）。我们寻求的是一种执行逆运算的方法，从数字 3x 2y z、2x 3y z 和 x 2y 3z 重建数字 x、y 和 z。
执行这种重建的中国方法使用矩形数字数组。例如，前面的问题将由数组表示
3 2 1 39
2 3 1 34
1 2 3 26
这些数组不是写在纸上的，而是在分成不同隔间的板上用短杆排列表示的。用这种板子解决此类问题的艺术被称为方程术（fang cheng），这不是学术实践；这些方法是人与人之间的传播，而不是通过文本，甚至不需要识字。有关方程术的更多信息，请查看Jeff Suzuki的视频，有关更深入的探讨，请参阅Roger Hart的书和文章（均列在参考资料中）。
Hart区分了他称之为“行家”(Adept）和“文人”（literati）的两个群体；行家是用木板快速计算的真正大师，而文人则描述了行家所做的事情，但只掌握了部分艺术的细节。我会比Hart走得更远，推测性地将方程术想象成一个流行的消遣，在中国古代扮演的角色类似于魔方和数独在我们这个时代所扮演的角色。像魔方和数独一样，求解线性方程组允许多条路径到达预定的目的地，聪明或经验可以引导行家找到比新手更有效的路径。最重要的是，所有三项活动都有一个快乐的特点，即使快速解决（solving）难题很困难，但验证（verifying）某人已经解决了难题很容易；这种难度差距打开了观众的大门。我想象着从一个城镇到另一个城镇与其他行家竞争，以及一个省的顶级行家争夺金钱和名声。
我的幻想可能只是一个幻想，但值得记住的是，很多文化都是短暂的。民间传统可以兴起，流行几个世纪，然后消失，不留下任何考古证据的痕迹。回想一下16世纪意大利的公开代数决斗，也许你会同意，中国古代的线性代数决斗并不是一个奇幻的概念。
方程术在古代中国基本上被遗忘了；欧洲人后来重新发明了这个基本概念，并与他们以欧洲为中心的记名法保持一致，以与之相关的最著名的欧洲人命名，在这种情况下，他是高斯。
跟着钱走
当François Quesnay（弗朗斯瓦·魁奈）年轻时，他并不打算发现一门新科学；他只是想治好病人。在担任外科医生的学徒并在巴黎学习后，他定居下来，成为一名经过认证的主外科医生。他的医学专长和整体智慧使他引起了富人和有权势者的注意，给国王路易十五留下了好印象；国王亲切地称魁奈为“mon penseur”（我的思想家），并将他提升为贵族，双关地将三色堇（Fleur de pensée，pansy）作为他的徽章。
魁奈开始思考经济和社会。在他看来，政治体是类似于人体的东西；正如人体需要血液和其他体液的平衡循环一样，政治体需要商品、服务，尤其是金钱的平衡循环。随着时间的推移，魁奈成为一群自称为重农主义者（Physiocrats）的思想家的中心，他们相信一个国家财富的最终来源是农业劳动。
在他颇具影响力的 1758 年手稿《经济表 Le Tableau Économique》中，魁奈设想了一笔 600 里弗（livre），作为租金支付给土地所有者，然后在经济中传播。一半的钱花在食物上（因此归还给农业阶层），另一半花在其他商品上（因此支付给手工业阶层）。农民和工匠反过来购买食物和其他商品，因此600里弗被切成越来越小的钱块，在三个经济部门之间曲折来回。
在后来的版本中，魁奈采取了一个小而关键的附加抽象步骤，用整个土地所有者阶级取代了原来的通用土地所有者；在这样做的过程中，他完全进入了宏观经济学的精神，可以说提供了世界上第一个明确的宏观经济模型。经济学先驱亚当·斯密(Adam Smith）在1760年代访问重农主义者期间注意到了这一点。
魁奈将农场工作作为经济价值的来源的赞美，并没有延伸到他认为农民应该在制定经济政策或任何类型的政策中发挥作用的地步。相反，魁奈是一位坚定的君主主义者（monarchist），他钦佩中国的帝国治理。（当他在1767年写《中国专制主义 Le despotisme de la Chine》时，他有所肯定）。他在儒家思想（Confucianism）中发现了一种等级社会模式，与中世纪基督教的“生命巨链 Great Chain of Being”相呼应。就重农主义的比喻而言，即使心脏泵送滋养大脑的血液，头部也不应该统治身体吗？
一个世纪后，卡尔·马克思以重农主义者的思想为基础，规定所有劳动（工厂工作和农业工作）都是价值的最终来源。他还借用了《经济表》的想法，在1857年制作了自己的类似模型。此外，他决定，通过让工人阶级兼作统治阶级来减少经济中的部门数量，并让工人失去过度劳累和工资过低的生命巨链，会更经济。俄罗斯知识分子注意到了。剩下的就是世界历史了。
另一个世纪后的1949年，旅居国外的俄罗斯经济学家瓦西里·莱昂蒂夫（Wassily Leontief）在魁奈、马克思和其他人（特别是莱昂·瓦尔拉斯 Léon Walras）的工作基础上，设计了一个美国经济模型，将其分为许多部门，每个部门都有产出，然后作为其他部门的投入。管理所有这些流的是类似于《经济表》的输入-输出表，它做出了重要的附加假设，即在每个部门内，就像在烹饪食谱中一样，输入比例是固定的；例如，一家决定减产10%的汽车制造商将需要之前90%的劳动力和90%的钢铁。如果你把它推得太远，这种简化的比例假设就会分崩离析，但当人们考虑不太剧烈的变化时，这是一个很好的近似。更重要的是，莱昂蒂夫的模型预测了部门的相对规模。
要了解这种模型的相对规模如何，请考虑一个只有两个部门的玩具经济学。每年，A部门将其一半的钱支付给B部门，并将其一半的钱留给自己，而B部门将其所有钱支付给A部门，如下图所示：
