其中空白条目表示“未定义”（谁说你不能将 1 除以 0？）
就此而言，什么是钱？魁奈、马克思和莱昂蒂夫都关心衡量它的来来去去，但它到底是什么？纸币几乎没有内在价值（尽管在极糟糕的情况下，它有时会用作燃料、墙纸或卫生纸）。为什么一张二十美元的钞票值二十美元？因为，作为一个社会，我们说它是。因此，我们可以用另一种虚构（矩阵）来衡量一种虚构（金钱）的来来去去似乎是合适的。
凯莱和汉密尔顿一样，主张一种早期数学家无法理解的特权：定义新的数学对象和对这些对象的运算的权利，只需描述这些运算的作用，而不是因为对象是什么；事实上，人们可以回避一个物体是什么的问题，声称这些组合定律构成了我们正在谈论的什么样的物体。
使用矩阵做事
当然，发明新的数学对象和新的数学运算的自由并不包括坚持别人关心它们的自由。矩阵之所以流行起来，是因为它们统一了之前的大部分内容（例如，四元数对应于某些特殊的 4×4 矩阵，就像复数对应于某些特殊的 2×2 矩阵一样），并且因为它们在科学的许多分支中都很有用。
野生动物管理是使用矩阵模型的一个领域。一个著名的人口增长简单模型是比萨的莱昂纳多（作为斐波那契更广为人知）在他1202年出版的《Liber Abaci 算盘全书》一书中提出的兔子模型。他问他的读者：“如果每个月每对繁殖期的兔子都繁殖一对新兔，而这对新兔从第二个月开始成为新的繁殖对，那么从一对兔子开始，每个月将繁殖出多少对兔子？（我希望我能更多地了解这个谜题的社会背景。当时兔子是害虫、宠物还是蛋白质？）我们可以用进化方程来建模
A' = A B
B' = A
其中 A 代表成人（Adults），B 代表婴儿（Babies）。弄清楚随着时间的推移会发生什么对应于取矩阵
1 1
1 0
的连续幂。
我们得到矩阵
我猜你看到数字1、2、3、5、8、......的出现一点也不惊讶，尽管莱昂纳多取得了许多其他成就，但他现在最出名的是兔子谜题和与之相关的数字序列。斐波那契数应该更恰当地称为Hemachandra（赫马钱德拉）或Virahanka（维拉罕卡）数，因为那些印度数学家早在莱昂纳多活着之前就知道它们。奇怪的是，短语“斐波那契数”和“斐波那契数列”只可以追溯到几个世纪前。历史是一件有趣的事情。
更现实的兔子种群增长模型将兔子分为两个以上的年龄段（比方说n个年龄段），并考虑到这样一个事实，即年轻的成年兔子会繁殖幼兔，而年长的成年兔子往往会变成前兔子。我们创建了一个n×n的数字矩阵，其中每个数字表示特定年龄的兔子存活到一个月大的兔子或繁殖的速度。预测兔子的数量将如何增长只是将矩阵提高到连续更高的幂的问题。
统计学也充满了矩阵，例如协方差矩阵（covariance matrix），其条目告诉你正在考虑的随机变量真正变化的程度，以及变量是倾向于在同一方向还是相反方向上变化。
我怎么能忽略当前线性代数的*手级应用：通过神经网络进行机器学习？这是隐藏在Chat-GPT和DALL-E以及人工智能最近取得的其他胜利中的魔力。据估计，超过99%的时间，如果你打断神经网络，它会说“你看不出我正在将两个矩阵相乘吗？（或者这就是神经网络在变得更聪明时会说的话，假设它们仍然允许我们打断它们。）
我几乎没有触及矩阵理论的表面。矩阵不仅仅是代数抽象；它们具有生动的几何意义。例如，考虑上面显示的比萨的莱昂纳多图片，它被视为将坐标对（x，y）映射到灰度级别的函数。如果我们应用与矩阵（两个月后控制莱昂纳多兔子种群进化的矩阵）
2 1
1 1
相关的线性变换，并采用该点的灰度级别会怎样？我们得到了图像的娱乐版本。在一个（对角线）方向上，原始图像被拉伸了 （3 √5）/2 倍；在垂直方向上，它被同样的倍数压扁了。这种拉伸和挤压的组合就是太妃糖拉力机所做的。将我们在莱昂纳多脸上的太妃糖拉动操作与乘以复数进行比较，该复数以各向同性（isotropically）的方式拉伸所有内容（即不偏好一个方向），然后以某个固定角度旋转所有内容。太妃糖拉动操作本质上是不同的。因此，我们可以将矩阵乘法视为一种扩大图片几何运算调色板的方法。在教学上，你可以以一种非常几何的方式发展2×2矩阵乘法的整个理论。事实上，大师级教师亨利·皮乔托（Henri Picciotto）已经做到了这一点；请参阅 https://blog.mathed.page/2023/06/16/matrices/ 。
如果你想真正学习线性代数，我强烈推荐吉尔伯特·斯特朗（Gilbert Strang）关于这个主题的经典教科书。一旦你掌握了线性代数，这就是一个你就可以解决的问题或例子。假设你以某种（正）利率投资某个（正）金额的钱，而我以两倍于你的利率投资其他（正）金额的钱。每年年底，你把你账户里所有的利息都给我，我用来投资（以我的高利率），我把我账户里所有的利息都给你，你用来投资（以你的低利率）。从长远来看，你的财富与我的财富比例会怎样？令人惊讶的是，答案并不取决于投资了多少，甚至不取决于利率是多少，只要我的利率是你的两倍。解决这个问题的秘诀是特征值（eigenvalue）的概念。
我在开头提到矩阵是矩形数组，但到目前为止我们看到的所有数组都是正方形的。你可以从斯特朗的书和许多其他来源中了解矩形矩阵如何适应图片。如果你想扮演汉密尔顿或凯莱，你能想到一个加法和乘法三角形数组的好方法吗？
我将以最后的历史旁白结束。看来，17世纪初的中国宫廷数学家，以一种奇怪的反向挪用方式，错误地试图将方程的技术描绘成欧洲数学家的作品！（参见罗杰·哈特（Roger Hart）的文章“追踪'三大支柱'所窃取的做法”。这些朝臣试图将自己打造成西方知识的中转人，所以他们的推销需要秘密的西方智慧的例子，而朝臣们并没有超越晦涩难懂的古代中国数学片段，并在上面贴上“欧洲制造”的标签。正如我所说，历史是一件有趣的事情。
感谢Sandi Gubin，Roger Hart，David Jacobi和Glen Whitney。
尾注
#1.你有没有注意到数学家如何倾向于回答反问？
#2.表达式 3x 2y z、2x 3y z 和 x 2y 3z 没有常量项。你可能会认为我们应该被允许包含常量项，因为在高中，你被教导像ax b这样的表达式是线性的。但是在线性代数等高等数学中，我们经常使用仿射（affine）这个词来描述像 3x 2y z 17 这样的表达式，并限制线性这个词以禁止常数项的存在。
#3.中国人实际上会使用这张图片的翻转版本，但我在本文后面调整了他们的演示文稿，以促进向现代符号的过渡。
#4.我第一次了解方程术，是从省略了“短”修饰符且不包含图片的来源中，我想象了水平和垂直杆运行棋盘的长度和宽度，计算过程类似于在一张桌子上同时进行两个垂直的桌上足球游戏！事实上，这些杆足够短，可以放在一个隔间内。
#5.西尔维斯特在1850年创造了“矩阵”这个词，并在一年后解释了这个新词，写道：“我在以前的论文中将'矩阵'定义为一个矩形的术语数组，从中可以产生不同的行列式系统，就像来自共同的子宫一样。我在这里不会过多讲行列式，只是说它们是与矩阵相关的数值量。每个大小适中的矩阵都有许多正方形子矩阵，每个子矩阵都有自己的行列式，这些行列式之间存在系统的代数关系，这些关系令人着迷且重要。但是矩阵比行列式要多得多！
#6.在现实生活中，荷兰数学家扬·德·维特（Jan de Witt）在1659年首次使用这种系数数组表示线性变换。
#7.你可能会觉得我把运算的顺序从一个句子切换到下一个句子，但如果你仔细阅读，你会发现即使单词的顺序改变了，运算的顺序也没有改变。为了进行比较，请考虑短语“x 余弦的正弦”；它表示如果我们从 x 开始，取其余弦，然后取正弦，得到的数字。索伦·克尔凯郭尔（Søren Kierkegaard）有一句名言：“生活只能向后理解，但必须向前生活”。有时数学只能从右到左理解，即使我们从左到右写它。
#8.值得注意的是，对于四元数和矩阵乘法，定义四元数的加法只是做最明显的事情。相比之下，乘法的定义是“秘密调味料”，它使四元数和矩阵分别成为它们的样子。人们在抽象代数中一遍又一遍地看到加法和乘法之间的对比：如何加法通常很明显，但找到“正确”的乘法方法通常更棘手。
#9.线性映射（linear map）的拉伸/挤压因子称为特征值（eigenvalue），拉伸/挤压方向称为特征方向（eigendirection）；指向特征方向的向量称为特征向量（eigenvector）。这里的前缀“eigen-”（从德语借来）的意思类似于“自我”或“自有”（形容词，而不是动词）。线性代数的思想在多大程度上影响了所有数学，可以通过现在有几十个以“eigen-”开头的数学词汇来衡量。
#10.支配这个问题的演化方程是
A' = A 2pB
B' = pA B
（其中A是你的钱，B是我的钱，100p%和200p%是两种利率）。关联的矩阵为
1 2p
p 1
不难证明（使用你将从斯特朗的书中学到的方法）这个矩阵有两个特征值：特征值 1 p√2，与特征向量 （√2，1） 和特征值 1 − p√2，与特征向量 （√2，1） 相关。由于前者的特征值具有较大的绝对值，因此它是主导的特征值（主特征值），因此随着时间的推移，该数对(a，b)看起来越来越像特征向量（√2，1）的倍数，并且A与B的比率将接近√2与1的比率。因此，即使你从小额投资开始，而我从大投资开始，最终你也会比我多出大约40%的钱。另请注意，如果我们取 p = 1（对应于每年 100% 的不切实际的利息），并且你和我以 1 个货币单位的相等投资开始，我们各自的持有量增长为（1，1）、（3，2）、（7，5）、（17，12） 等；比率 1/1， 3/2， 7/5， 17/12， ...无非是我们在我的文章《事物、名称和数字》 https://mathenchant.wordpress.com/2023/02/17/things-names-and-numbers/ 中遇到的 2的平方根的近似值。
#11.使用三角形数组进行加法和乘法的一个好方法是将它们变成正方形数组。例如，你可以查看左下角有一个0的所有 2×2 矩阵（此类矩阵称为上三角 upper triangular）。你可以检查上三角矩阵集合是否在加法和乘法下封闭。由于每个这样的矩阵都与三个数字相关联，矩阵乘法提供了一种三元数相乘的好方法——即使它没有汉密尔顿在发明四元数之前所寻找的所有属性。
参考资料
矩阵是什么？https://mathenchant.wordpress.com/2023/06/16/what-is-a-matrix/
D. L. Clark，《规划与投入产出分析的真正起源》，《当代亚洲杂志》第14卷，第4期（1984年），第430-449页
Tivadar Danka，矩阵乘法的背后是什么？，https://tivadardanka.com/blog/behind-matrix-multiplication
Vladimir Dobrushkin 弗拉基米尔·多布鲁金，线性方程组：矩阵，https://www.cfm.brown.edu/people/dobrush/cs52/Mathematica/Part1/matrix.html
Robert Dorfman， 瓦西里·莱昂蒂夫对经济学的贡献，《瑞典经济学杂志》1973，Wassily Leontief's Contribution to Economics， Swedish Journal of Economics， 1973
罗杰·哈特，《线性代数的中国根源》，约翰·霍普金斯大学出版社，2011年
罗杰·哈特，《追踪实践被“三大支柱”窃取》，《韩国科学史杂志》34-2（2012），第287-357页
MacTutor， 矩阵和行列式， https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices and determinants/
卡尔·马克思，《格伦德里斯》（企鹅版），马丁·尼古拉斯译，第441页
Almarin Phillips， The Tableau Economique as a Simple Leontief Model， Quarterly Journal of Economics， Vol. 69， No. 1 （1955）， pp. 137–144
亨利·皮乔托，矩阵。https://blog.mathed.page/2023/06/16/matrices/
吉尔伯特·斯特朗，《线性代数》
Jeff Suzuki， Fang Cheng Shu：Solve of Equations System in Ancient China， https://www.youtube.com/watch?v=HIFcftCSXO0
魁奈经济著作选集 http://elib.hflib.com/Data/ebook/pdf_0001/hf000209.pdf
《科学美国人》如何庆祝1/3天 https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/how-to-celebrate-thirdsday/
小乐数学科普：汉密尔顿（爱尔兰诗人数学家）的四元数，或三元数的麻烦END
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