专题 1：数的认识、数的运算、常见的量的内容分析与建议
小学数学数与代数领域涵盖的内容很丰富，关于数的认识、数的运算、估算和常见的量的内容主要集中在以下四个问题。
1. 如何建立“数”的概念？
2. 如何处理运算教学中的算理与算法的关系？
3. 如何落实新课标对估算的要求？
4. 如何依托现实情境帮助学生体现和理解常见的量。
问题一：如何建立“数”的概念
一、《课标》中“数的认识”有何变化
数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义伴随着学生学习数学的整个过程，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。在小学阶段数的认识包括：整数的认识、分数、小数和百分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数的简单应用等。在教材的安排中， 整数的认识中分为 10 以内认识、 20 以内的认识、 100 以内的认识、万以内的认识、大数的认识等；分数和小数的认识都为两个阶段、一个是初步的认识，另一个分数和小数的意义。整体来说新课标中对数的认识的要求变化和调整不大，主要有以下几点，在教学中我们要加以注意。
内容 | 学段 | 《标准》要求的调整和变化 |
数的 认识 | 第 一 学 段 | “ 知道用算盘可以表示多位数 ” 。 “ 能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比 较两个同分母分数的大小。” |
第 二 学 段 |
不再要求 “ 比较百分数的大小 ” 和 “ 探索小数、 分数和百分数之间的关系 ”
|
在数的认识中要关注数的意义、数的表示、数与数的关系、数的应用。其中我们要特别关注数的意义，也就是数的概念的建立。在教学中如何建立数的概念是教学的重点，面对数的认识这一重要内容，我们又该怎样帮助学生建立清晰的数概念，理解数的意义呢？
二、在建立数概念中要注意的问题
（一） 在整数的认识中要注意的问题
建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点 。理解数的意义一般有两个角度， 一是从数的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联系生活实际来体会 ，通过在具体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来 ，这样 更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。
在整数数概念的建立过程中要注意以下几点：
1. 依托多种形式建立整数数概念 （ 1 ）在具体情境中理解数的意义 学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会写，会说一些具体的数。我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的 2 匹马，2 棵树， 2 头牛， 2 个人，抽象为 2 这个数。这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“ 2 ”。反过来， 2 可以表示任何具有 2 这样数量特征的事物，例如 2 只铅笔， 2 个人、 2 只小动物……，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富含义，比如 计数的数、数量的数、度量的数和计算的数。
（ 2 ）用操作帮助学生具体感知 自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽象到数， 抽象离不开直观的支撑和操作，例如：计数器、小棒、图形等等，让学生亲自的数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过程也是一一对应的过程，同时感受具体的数量。 （ 3 ）多种模型的表征 在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。例如，一位老师在教学《万以内的数的认识》时，就运用方块模型帮助学生建立一万的概念，理解数的意义。 通过方格模型的演示，让学生体会 10 个一是十， 10 个十是一百， 10 个一百是一千， 10个一千是一万……，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的映像，同时建立十个千就是一个万，在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一”，对于学生理解基数单位和位值制是有很大好处的。
2. 把握核心概念， 重视数位和位置值的理解
为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含意是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示不同大小的数，是理解整数概念所必须的。学生必须清楚地了解，同样一个数字“ 3 ” ，在个位上表示 3 个一；在十位上表示 30 ，即 3 个十；在百位上表示 300 ，即 3 个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。我国计数单位是四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。在历史上，曾经出现过以 2 、 3 、 4为原始的数基，比较多的是以 5 、 20 、 60 为数基，即五进制、二十进制、六十进制。当然，最多的是以 10 为数基，即现在世界各国通用的十进制，即 重要的“满十进一”的方法。
在古代文明中，世界各国大多数都是采用十进制，例如中国、古罗马。但十进位记数法，离十进位值制还有关键的一步“位置值”制要走。所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所处的位置不同可以表示大小不同的数目。有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是记数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制记数法为“最妙的发明之一”。
（ 1 ）重视 10 的概念的建立 一个 十 和几个 一 是十几 ， 这就是位值制的基础 ， 这样 10 个数字就可以表示出生活中无限多的物。教学中建立好概念非常重要。在教学 10 的认识时要让学生亲自感受到由 9 再加 1变成 10 的过程，可以通过数、摆、捆、拨、说等活动，让学生感受 10 个一是 1 个十。在 11-20 各数的认识中仍然要关注 10 的概念的建立，让学生体会满十进一的过程。
（ 2 ）重视数计数单位
为帮助学生了解十进制计数法 和位值制。要重视数计数单位 逐步建立新的计数单位，10 个一是 1 个十，10 个十是一百，10 个百是一千，10 个千是一万，10 个万是十万，10 个十万是一百万，10 个百万是一千万，从而引出新的计数单位十万，在一个单位、一个单位的数的活动中，学生充分体会每数满 10 个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是十。
（ 3 ）重视数位顺序表的使用 随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表，从识 20 以内 的数起就让学生了解个位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表，在认识整数的最后一个单元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读、写数的方法。
3. 关注对大数的感受
在第一、二学段都提出感受大数意义和对大数进行估计的要求。第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段情境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受大数的意义。其本质是相同，都是希望通过具体的情境对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关， 1200 张纸大约有多厚？你的 1200 步大约有多长？1200 名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？这些具体的情境学生可以通过实际操作和观察感受。有时还要加入想象的成份， 1200名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解自己的学校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人会占多大地方。
这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。
（二）在建立分数概念中要注意的问题
教师在数的认识的教学中 普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。分数起源于分，当平均分出现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。后来，在土地测量、产品分配等过程中, 常常得到不是整数的结果，便产生了分数。分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源在于自然数除法的推广。
1. 加强对分数丰富意义的理解 教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。对分数意义的理解应关注以下两个主线和四个层面：两个主线即“比的线索”和“数的线索”。“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；“数”指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。
分数意义理解的四个层面
“比率” 是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如一个圆平均分成 4 份，每一份是整体的 。又例如，长方形中的一部分是整个长方形的整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这里的 和 所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。而部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。例如小红有 5 个苹果，小丽有 3 个苹果，小红的苹果是小丽的 5／3倍。对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。
“度量” 指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如 3／5里面有 3 个1／5 ，就是用分数 作为单位度量 3 次的结果。著名数学家华罗庚曾经说过：“数起源于数，量起源于量。”对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。
“运作” 主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，求 6 张纸的 2／3是多少张纸，学生将 理解为整体 6 张纸的 2／3，即将 6 张纸这个整体平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 ÷ 3 × 2 ，也就是 6 × 2/3。
“商” 这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。 以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。
2． 利用多种模型帮助学生理解分数的意义
在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如把一个月饼平均分为两份，其中的一份是 1／2个，把一张纸平均分为为四份其中的一份是1／4 ，这仅仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。
（ 1 ）分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数
儿童最早是通过“部分—整体” 来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。
（ 2 ）分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数
这是“部分—整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单位 1 ” 不再真正是“ 1 个整体”了，而是把几个物体看作“ 1 个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把 4 个桃子看作“单位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 个占整体的 。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体 1 ”。（ 3 ） 分数的“数线模型”：数线上的点表示分数
3. 把握好每一阶段完成的任务 在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：第一学段分数的初步认识和第二阶段分数的意义。但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到，对于分数意义的学习，决不是一两次教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、多维度建立，将教材中的“显性”和“隐性”结合起来。我们应该如何把握每一阶段的教学呢？
第一阶段：认识平均分。
第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。
第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的维度。
第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对于分数理解的运作、商的维度.
第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。 必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这四个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运用。
（三）在建立小数数概念中要注意的问题
在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小数的初步认识。小数的出现标志着十进制记数法从整数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。由此可见小数和整数、分数有着密切的联系。
1. 利用知识迁移建立小数概念
分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接显著的影响 ， 后者的学习对前者也有促进作用， 例如 8 分米是十分之八米是学生已有的知识 ， 只要通过提问 ， 引起学生的回忆和思考 ， 还可以写成 0.8 米 ， 也就是同一对象的两种不同形式 ， 使小数和分数建立起直接的联系 ， 使学生进一步体会到 ：十分之几和一位小数， 百分之几和两位小数之间的关系 。再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用数轴表示数，这是认识整数、分数时常用的模型， 可以将其拓展到小数 。例如：把一个正方形平均分成 10 份 100 份， 其中的若干份既可以用分数表示 ， 也可以用小数表示 ，这样能够 帮助学生理解的小数意义，建立小数的模型，培养学生的数感 。
2. 沟通整数、小数、分数之间的关系
（ 1 ） 沟通整数和小数的关系。
整数与小数的计数方法是一致的 ， 相邻两个计数单位间的进率都是 10 ， 小数的计数方法是整数计数方法的扩展 ， 教学中要设计相应的教学环节将整数的计数方法迁移到小数 ， 为学生在计数的经验和方法上建立联系， 不仅如此 ， 还要利用这些活动帮助学生整理认数系统 ， 把原来认识的整数数位表扩充到小数 。
（ 2 ）沟通分数和小数的关系：
小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使学生理解小数是十进分数。
（ 3 ）沟通分数、整数、小数之间的关系。
关于小数和整数、分数有着密切的联系，在整数学习的基础上，学习了小数，小数的表征形式与整数相似， 数位顺序表得到补充， 都是十进制。如果以个位为基础，向右扩展就是十位、百位、千位；如果向左扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。换句话说：以个位为对称轴，两边的数位呈现了对称的关系，只是小数部分在位前增加了“分”；这样“每相邻的两个计数单位之间的进率都是 10 ”得到了全面的概括；小数是十进分数。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。整数可以数：一个一个地， 一十一十地数，一百一百地数，小数可以数： 0.1 、 0.2 、0.3 、 0.4 、 0.5 、 0.6 、 0.7 ……分数可以数：1/6、2/6、3/6……以此类推。这列数是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数它们都是计数单位的累加。
3. 把握好小数认识的两个阶段的教学
我们知道关于小数的初步认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和米制系统（米、分米、厘米）来帮助学生学习。并不涉及到小数的计数单位和数位；到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出小数的计数单位和数位，以及完善数位顺序表…… 两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。要根据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意义。
三、 建立数概念教学的具体建议
（一）在数认识中体现数感。 数感的建立非常重要，教师要设计多种活动培养学生的数感。
（二） 整体把握内容之间的* 两个学段相关内容的整体把握和递进与衔接。
（三）鼓励学生进行数学交流，关注数的应用 。关于数的认识包括从数的意义、数的表示、数和数之间的关系、数的应用；其中数的应用不仅仅是一条主线，而且渗透在整个学习中。教学中要提供机会鼓励学生运用数来表示日常生活中的一些事物，并进行交流。
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