初中几何题-求三角形的一个边长
在三角形ABC中, D在AC上, F在BC上, 此外AB垂直于AC, AF垂直于BC, 并且BD=DC=FC=1, 求AC的长度。
解法1: 如图做DE垂直于BC, 垂足为E。
设AD=x, BF=y, 由于三角形ABC是直角三角形,根据射影定理有:
AC·AC=CF·CB,
也就是:
AC·AC=1(1 y)
显然此题如果求出y, 就能求得AC。
而AC=1 x,
因此(1 x)·(1 x)=1 y
此外两个直角三角形CDE和CAF是相似三角形,或者说AF和DE相互平行,对应的分割线段之比相等,所以有:
CD/AD=CE/FE
因为三角形BDC是等腰三角形, 所以:
E是BC的中点, 因此:
CE=(1 y)/2
EF=BE –BF=(1 y)/2-y=(1-y)/2
将相应的代数值带入CD/AD=CE/FE中, 并把由此分子和分母的2去掉,有:
1/x=(1 y)/((1-y)
整理后:
x(1 y)=1-y
目的是要变换成x 1的用y表达的代数式,所以再次整理:
(xy y) x 1=2, 随后左侧因式分解:
(y 1)(x 1)=2
由此得出x 1=2/(y 1), 将此式带入上面求出的1 x)·(1 x)=1 y中,
解得:
而: