压缩映射原理的重要性,巴拿赫压缩映射原理

首页 > 技术 > 作者:YD1662023-04-26 11:59:07

学过高等数学或参加过考研的同学肯定知道,证明一个数列收敛是一类比较难的问题。在高等数学的范围内,证明一个数列收敛只有两种办法:一个是夹逼定理,一个是单调有界定理。而这两种办法使用起来都有相当的困难。使用夹逼定理,需要找到一大一小两个数列,同时它们还得有相同的极限。使用单调有界定理,不仅需要证明单调,同时还得证明有界,而且两个还必须匹配:如果是单调递增,则需要证明有上界;如果是单调递减,则需要证明有下界。不管是哪种情况,使用起来都相当困难。如果是做大题的话,那么详详细细地写论证步骤还比较划算。但是如果碰到选择题或填空题,一道小题也要耗上很长时间来判断数列是否收敛,从时间上看就很划不来了。

那么,今天就来给大家介绍一种非常快捷的判断数列是否收敛的方法,我们称之为压缩数列法。

1.什么是压缩数列?

压缩数列的定义如下:

压缩映射原理的重要性,巴拿赫压缩映射原理(1)

从这个定义也可以看出来“压缩”的意思,指的就是每两项之间的差值在逐次缩小,并且还要小于一个比例常数,当然我们还要求,这个比例常数比1还要小。

2.压缩数列与收敛性有什么关系?

我们的结论就是:

定理:压缩数列一定收敛。

我们来证明一下这个定义,需要使用比较判别法和绝对收敛。

压缩映射原理的重要性,巴拿赫压缩映射原理(2)

压缩映射原理的重要性,巴拿赫压缩映射原理(3)

好了,上面就是定理的证明过程。有了这个定理之后,在做选择题和填空题的时候,如果你能发现它是一个压缩数列那么我就知道他一定是收敛的,这样的话能节省很多时间。

3.应用举例

首先来看一道在考研中非常常见的一类问题:

压缩映射原理的重要性,巴拿赫压缩映射原理(4)

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