在标准答案中,只能使用单调有界定理:
用这种方法来证明过程非常繁琐,需要使用两次数学归纳法,而且如果判卷子严格的话,哪怕有一步有漏洞或者省略,都不能得到满分。
那么下面来用一下本文介绍的压缩数列法来证明:
可以看出,用压缩数列法来证明非常简单,只需要一步即可完成。可以验证,在很多情况下,压缩数列法都是一种非常快捷的判断数列收敛的方法。感兴趣的同学可以找到更多的考研题目来试一试。
不过,这种方法并不在考研大纲范围内,因此如果在考研过程中大题证明题使用这种方法是不允许的。但是对于做选择题和填空题来讲,这不失是一种节约时间的好办法。
4.历史背景看了上面的例子,可能不少同学会感到非常惊讶,竟然还有这么简单且快捷的方法。但其实,这个方法也只是一个更高级定理的初等形式。这个更高级的定理便是历史上赫赫有名的——巴拿赫不动点定理(Banach fixed-point theorem)。
巴拿赫不动点定理,也叫压缩映射原理它的全文叙述如下: