小学数学中，学生学习的数的取值范围，主要是大于或等于0的数，对于负数只是略有接触，并不涉及到运算。
进入初中后，学生学习的数的范围有两次扩充。七年级上册第一章(有理数)的学习，是数的范围的第一次扩充。学习内容增加了负数，把学生学习的数的取值范围，扩充到了有理数范围内。
七年级下册第六算(实数)的学习，是数的取值范围的第二次扩充。实数的有关概念及实数的性质和运算，是初中数学的基础知识，也是中考的必考内容之一。学生学好本章，非常重要。要学好本章，首先要把算术平方根、平方根这两个概念要区分清楚并掌握牢。
1、算术平方根和平方根的概念。
①算术平方根:若一个正数x²=a，则这个正数x叫a的算术平方根。另外，0的算术平方根是0
如3²=9，则3是9的算术平根，表示为√9=3
②平方根:若一个数x²=a，则这个数x叫a的平方根。
如(±3)²=9，则±3是9的平方根，表示为±√9=±3
注意:非负数才有算术平方根和平方根，即a≥0，像√－9则无意义。
2、算术平方根与平方根的区别与联系。
①区别:一是个数不同。除了0的算术平方根和平方根都是0外，正数的算术平方根只有一个，而正数的平方根有两个，且互为相反数。二是表示方法不同，非负数的算术平方根表示为√a，平方根表示为±√a。
②联系:算术平方根是平方根中的一个。
常见例题解析。
例1、求下列各数的算术平方根和平方根。
625，(－3)²，√16，0.49，121/144，5
解:625的算术平方根是25，平方根是±25
(－3)²的算术平方根是3，平方根是±3
√16的算术平方根是2，平方根是±2
0.49的算术平方根是0.7，平方根是±0.7
121/144的算术平方根是11/12，
平方根是±11/12
5的算术平方根是√5，平方根是±√5
注意:1、要求一个数的平方根和算术平方根，首先应知道哪个数的平方等于它。这就要求学生记牢一些常见数的平方等多少，一般应牢记从1到20以内的所有整数的平方。
2、要确定求的是哪个具体数的平方根或算术平方根。如(－3)²=9，√16表示16的算术平方根等于4，让求的是4的算术平方根和平方根。
3、求带分数的平方根时，应把它化为假分数
4、当在有理数范围内无法找到平方根或算术平方根时，应用二次根号直接表示出来。比如5的平方根是±√5。
例2、已知a－2的算术平方根是0，3a b－1的算术平方根是5，求b－a²的算术平方根。
解:∵0的算术平方根是0
∴a－2=0，a=2
∵25的算术平方根是5
∴3a b－1=25，又∵a=2
∴3×2 b－1=25，b=20
∴b－a²=20－2²=16，16的算术平方根是4。
答:b－a²的算术平方根是4。
例3、已知一个正数x的两个平方根是2a－3，
5－a，求a和x的值。
解:∵一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为0。
∴2a－3 5－a=0解得a=－2
2a－3=2×(－2)－3=－7
x=(－7)²=49
答:a值为－2，x值为49。
3、算术平方根的性质:√a≥0且a≥0(热门考点)
例1、已知√a 2 (b 5)² 丨c－1丨=0，那么a－b c的值为____。
注意:非负数的和为0，则每个数都等于0。初中常见的三个非负数形式①算术平方根。②实数的偶次方。③绝对值。
解:∵√a 2≥0，(b 5)²≥0，丨c－1丨≥0
又∵√a 2 (b 5)² 丨c－1丨=0
∴√a 2=0，b 5=0，c－1=0
∴a=－2，b=－5，c=1
∴a－b c=－2－(－5) 1=4
例2、已知a，b为有理数，且√a－5 2√5－a=b 4，求a，b的值。
分析:可根据被开方数应大于或等于0求解。
解:∵a－5≥0，5－a≥0
∴a=5
又∵√a－5 2√5－a=b 4，
∴b 4=0，b=－4
4平方根的性质:正数有两个平方根，且它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。
例1、已知一个正数的两个平方根分别是x 3和x－1，求这个正数。
解:∵正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴x 3 x－1=0
∴x=－1，
∴x 3=－1 3=2
∴这个正数等于2²=4
例2、若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是____(易错题)
A、－3，B、－1，C、1，D、－3或1
分析:因为2m－4与3m－1是同一个数的平方根，它可能是两个数，则互为相反数；也可能是同一个数，则相等。
解:①(2m－4) (3m－1)=0
解得m=1
②2m－4=3m－1
解得m=－3
所以应选D
注意:这两题的区别，例1是一个正数的两平方根，例2是一个数的平方根，例2缺了个词语“两”，解答方式就有所不同。
5、算术平方根小数点位置的移动规律:被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点向相同的方向移动一位。
例1、已知√23≈4.80，√230≈15.17，
则√0.0023的值约为____，√23000的值为____
分析:因为0.0023是23的小数点向左移动4位得到的，所以0.0023的算术平方根，应是23的算术平方根向左移两位。即√0.0023≈0.0480。
而23000则是230的小数点向右移两位得到的，所以23000的算术平方根应是230的算术平方根向右移一位。即√23000=151.7
