结论图
② 开区间内连续 ：如果函数 f（x）在某一开区间 （a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，
或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
③ 闭区间上连续：如果函数 f（x）在开区 间 （a，b）内连续，在左端点 x = a 处右连续，在右端点 x = b 处左连续，
就说函 数 f（x）在闭区间 [a , b ] 上连续。
二、闭区间上连续函数的性质：
闭区间连续函数的性质图
性质1、（有界性）若函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 连续，则函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 有界，即 存在 M > 0 ,
对任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 ∣f（x）∣ ≤ M 。
注：在半开区间 ( 0 , 1 ] ，连续函数 f（x）= 1/x 无界 。
性质2、（最值性）若函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 连续，则函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 能取到最小值 m 与最大值 M ，
即 存在 x1 , x2 ∈ [ a , b ] , 使 f（x1）= M ， f（x2）= m ，
且 对任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 m ≤ f（x）≤ M 。
性质3、（零点定理）若函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 连续，且 f（a）f（b）< 0 ,（即 f（a）与 f（b）异号），
则在区间 （a , b）至少 存在一点 c ， 使 f（c）= 0 。
性质4、连续函数的运算性质同极限的运算性质（略）。
例题3、证明：方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一个实根 。
证明 令 f（x）= x - cosx , 则函数 f（x）= x - cosx 在 [0 ，π/2 ] 连续，并且 f（0）= -1 < 0 ,
f（π/2）= π/2 > 0 . 根据零点定理 ，函数 f（x）= x - cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一点 c ，使
f（c）= c - cosc = 0 , 即 方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一个实根 。
,
