1.古典数学中的“连续”概念生活中我们处处可以碰到这样一些恼人的事情：
在一个阳光明媚的下午，把刚洗好的衣服搭在晾衣绳上，结果“啪”的一声绳子断了。衣服散落一地，沾满了尘土，不得不拿回去重洗。
开着车在山间小路中徜徉，惬意地享受着春光，突然前方出现一道警戒线，路边立着大牌子，上写四个大字：“此路不通”。
其实这两件事情都涉及到一类共同的现象：“连续”(continuous)与“间断”(discontinuous)。
数学的发展就是对客观现象进行抽象与归纳，并在此基础上进行演绎推理。而“连续”与“间断”这类现象早就被数学家们注意到了。在初等的几何问题中，我们会涉及到线的连续；而微积分创立以后，对连续性的探讨又上升到了极限的高度；而到了20世纪，随着现代拓扑学的诞生，人们对连续性又有了更深刻的认识。
可以看出，“连续”这个概念在数学中也是经历了由直观到形式，由原始到复杂，由具体到抽象这样一个层层演进的过程，本文我们就来论述一下这个过程。
微积分创立之前的数学被称为古典数学，这个时期人们对数学的概念还停留在感性直观的基础上，没有形成现代数学中那样严谨的形式语言和逻辑规范，因此对“连续”这一概念的理解也是很原始的。所谓连续，就是像一条绳子那样不要断成两段就可以了。
在小学奥数中，我们学过所谓的“一笔画”问题，大意就是给出你一个复杂的图形，要求你用笔画出来。要满足两个要求：第一，笔不能离开纸面；第二，不能有重叠。
有趣的一笔画问题
笔不离开纸面的意思就是连续的意思，只有这样画出来才是一条连续的、完整的线。一旦你的笔尖离开纸面再找另外一个地方继续画，那么这条线就断开了，也就不能是连续的了。
一笔画问题来源于所谓的“哥尼斯堡七桥问题”，哥尼斯堡是曾经是普鲁士一座非常重要的城市，现在的名字叫加里宁格勒，属于俄罗斯。这座城市还诞生了另外一位伟大的哲学家——伊曼努尔·康德(Immanuel Kant，1724~1804)。
哥尼斯堡是一座多水的城市，人们在其中一条河流和其中的两座小岛上修建了七座桥梁：
七桥示意图
不少人经常在这里散步，走得多了人们便想到一个问题：能否一次性把这七座桥都走个遍，并且中途不走重复路线?
这其实就是最早的一笔画问题：人不会跳，更不能飞，所以走出的路线一定是一条连续的线。同时要求一次性走完，就是说不能分成两次或者多次。如果分成两次或多次，那就相当于好几段了，这样一来路线就是断开的。所以“七桥问题”里面就隐含了人们关于“连续”与“间断”最朴素的概念。
无数人试图解决这个问题，他们天天在桥面上走来走去，可惜始终没有人成功。1735年，几名大学生把这个问题寄给了当时的大数学家欧拉。而欧拉果然不负众望，通过一年的潜心研究，1736年欧拉向圣彼得堡科学院投去论文《哥尼斯堡的七座桥》，彻底解决了这个问题。就是我们现在在奥数中学到的“一笔画理论”。简单总结来说，如果一个连通图的奇数点个数是0或2，则可以一笔画出，其余情况都不行。
