时间平移（信号延迟）会让频率函数产生一个相位移动。那变量的缩放会产生什么影响呢？
假设
我们将分别从a<0和a>0进行讨论。
其中使用了代换u=at。让我们看看当a<0时会发生什么：
进一步我们得到表达式：
它的物理意义是什么？
傅里叶变换的标度特性意味着，如果我们在时间上压缩信号，相当于在频率空间（水平）上扩展信号，反之亦然。
我们很快就会发现，这一结果极其重要。
通过维度进行分析可以给我们提供一个更高层次和有启发性的视角。时间以秒为单位衡量，频率以1/s为单位进行衡量。似乎可以看出，如果把时间展宽变大，频率展宽就会变小，反之亦然。
如果你不知道频率的单位是从哪里来的，我非常能理解你的疑惑。傅里叶变换中的s最终决定了构成信号的正弦波的周期，你可以通过使用欧拉公式将复指数展开为正弦和余弦，或者将傅里叶变换视为一组连续的傅里叶系数来感受这一点。
傅里叶变换有很多炫酷的特性，但由于这不仅仅是一篇关于变换本身的文章，我们将不过多介绍这些特性，感兴趣的读者可以自己来探索这一点。
读者可能会发现一个让计算变简便的特性，即傅里叶变换将求导数转换为乘以一个常数，这是一个有趣且具有实用价值的特性。这意味着一个空间中的微分方程对应于另一个空间中的代数方程。
因此，一些微分方程可以通过变换方程，用代数方法求解，然后将解变换回来（通过傅立叶逆变换）获得原本方程的解。
波函数和海森堡不确定性原理
量子物理学家通过可能存在的量子态来描述量子系统（例如粒子）。
描述量子态的函数族被称为波函数，以位置坐标为变量的波函数的模平方给出了粒子在空间中的概率分布。
因此，我们可以将波函数解释为概率波，表示粒子位于给定空间区域的概率。因此，描述粒子位置的波函数应该被看作是空间中的波而不是时间中的波。
当我们对这个位置波（位置坐标为自变量的波函数）进行傅里叶变换时，可以得到一个频率（空间中的频率）波，它是以粒子动量为自变量的波函数。
仔细想想并不奇怪，因为如果你认为光是波包或物质波，那么动量将由光的频率给出。
我们用
