我们首先来求幂函数的导数
对于n∈N*，△x→0
(x^n)′=lim{[(x △x)^n-x^n]/△x}
根据二项式定理：
(a b)^n=Σ[C(n,r)×a^(n-r)×b^r]
r=0，1，2，…，n
(x △x)^n-x^n
=[x^n nx^(n-1)△x C(n,2)x^(n-2)(△x)^2 … (△x)^n]-x^n
=nx^(n-1)△x C(n,2)x^(n-2)(△x)^2 … (△x)^n
(x^n)′=lim{[(x △x)^n-x^n]/△x}
=lim{[nx^(n-1)△x C(n,2)x^(n-2)(△x)^2 … (△x)^n]/△x}
=lim[nx^(n-1) C(n,2)x^(n-2)(△x) … (△x)^(n-1)]，△x→0
=nx^(n-1) 0 … 0=nx^(n-1)
(x^n)′=nx^(n-1)，n∈N*
也可以写成：y=x^n
y′=dy/dx=d(x^n)/dx=nx^(n-1)
dy=d(x^n)=[nx^(n-1)]dx
利用后面将要证明的
(e^x)′=e^x，[ln(x)]′=1/x
我们还可以将以上结论中的正整数n拓展到任意实数α。
根据对数恒等式
x=e^(lnx)
x^α=[e^(lnx)]^α=e^(αlnx)
(x^α)′=[e^(αlnx)]′=e^(αlnx)×(αlnx)′
=x^α×α×(lnx)′
=αx^α×(1/x)=αx^(α-1)
(x^α)′=αx^(α-1)，α∈R
根据拓展到实数域的结论，我们可以很快得出几个常见导数。
(x)′=(x^1)′=1×x^(1-1)=x^0=1
(x^2)′=2×x^(2-1)=2×x^1=2x
(1/x)′=[x^(-1)]′=(-1)×x^(-1-1)
=-x^(-2)=-1/(x^2)
(√x)′=[x^(1/2)]′=(1/2)×x^(1/2-1)
=[x^(-1/2)]/2=1/(2√x)
(C)′=(Cx^0)′=C(x^0)′
=C[0×x^(0-1)]=C×0=0
C为任意常数
(x)′=1，(x^2)′=2x，(1/x)′=-1/(x^2)
(√x)′=1/(2√x)，(C)′=0
接下来我们来讨论指对数函数的导数，我在前面的文章中已经详细讨论了利用自然常数e的定义，可以证明(e^x)′=e^x。
由于证明过程比较复杂，有兴趣的朋友可以前往我的主页翻看一下。
