注意到sin x 连续可导，导函数在零点为cos0 = 1 > 0,说明sinx 在0 点的某个右邻域内单调递增，从而在某个区间(0,δ)上，sin x > 0。(*)
我们估计一下来说明sinx存在大于零的零点。这只需要说明sinx有取得负值的点。显然，sinx，cosx在任何区间上都不恒为常数，于是我们假设sinx > 0恒成立，这时cosx是单调递减的，用下面两部分文字来推出矛盾。
若cos x 非负恒成立，则有sinx单调递增，于是由单调有界原理，可设
则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：
若存在y使得cos y小于零，那么当x≥y时，cos x < 0，说明在这个区间上sin x单调递减。
于是由单调有界原理，可设
则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：
