本文为“第三届数学文化征文比赛
莱布尼茨、二进制和伏羲卦图
作者：张小平 江辉 马宏云
作品编号：001
投稿时间：2021.5.8
莱布尼茨是一位百科全书式的科学家，生活的年代与清朝的顺治三年（1646年）—康熙五十五年（1716年）重叠。他很关注中国的历史和文化，他在一篇关于二进制的论文中提到了伏羲卦图 ，而且在与其他人的通信中多次提及二进制和伏羲卦图。胡阳和李长铎两位学者认为，伏羲卦图 就是二进制，莱布尼茨创立二进制受到了伏羲卦图的启发1。这些结论值得商榷。
一、《易经》在欧洲的流传情况
《易经》是中国古代的一部卜筮之书，由《周易》和《易传》两部分组成，成书于西周时期，作者不详，词句古奥。《周易》由卦爻符号与卦爻辞组成，后来，儒家学者从义理上对卦爻辞进行阐发，撰写出《易传》，经过历代学者的钩沉稽考，形成了易学。
法国的金尼阁（Nielas TriBauit）神父于1610年和1620年两度来华传教，他在杭州用拉丁文翻译了《易经》，但是，这部译著没有在欧洲产生影响。
意大利的卫匡国(Martino Martini)神父精通数学、天文学和测量技术，两度来到中国，为中西科学文化交流作出过重要贡献。1658年，他在慕尼黑出版了《中国上古史》，里面有论述《易经》的内容，载有一幅六十四卦图，注明为伏羲所绘，这是引入欧洲的第一幅伏羲卦图。卫匡国介绍，卦图中的基本符号是“阴爻”和“阳爻”,阴爻代表着隐蔽的、不完全的事物。阳爻代表着公开的、完全的事物。由它们组成的“三线形符号”，就是八卦，分别代表自然现象中的天、地、水、火、雷、山、泽、风。在此基础上，由“三线形符号”两两结合，可以组成六十四个“六线形符号”，就是六十四卦。
1660年，学者斯比塞尔(Gottlied Spizel)的《中国文史评析》在荷兰莱顿出版，有些资料引用自卫匡国的《中国上古史》，介绍《易经》的内容很详细，载有伏羲的六十四卦图，还出现了短语“binarium multiplicatis”，是指伏羲卦图的生成方式遵循2的乘方原则。斯比塞尔是莱布尼茨的学术朋友，两人之间有多封书信讨论哲学问题。1660年之后，莱布尼茨阅读过《中国文史评析》一书是没有疑问的，他大概在这个时候了解了《易经》和伏羲卦图。
比利时的柏应理（Philippe Couplef）神父于1659年来到中国。他致力于传播中国的文化，同几位神父一起把《大学》、《中庸》、《论语》和《易经》翻译成了拉丁文《西文四书直讲》，书中有伏羲八卦次序图和伏羲八卦方位图，还有周文王六十四卦图，卦图上被用阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8直至64标有序号。这部著作于1687年在巴黎出版，书名为《中国哲学家孔子》。莱布尼茨于1687年12月19日给一位名叫莱茵费尔(Von Hessen Rheinfels)的先生写过一封信,叙述他阅读《中国哲学家孔子》一书的喜悦心情。莱布尼茨也见到了书中的伏羲卦图。
易学领域有一个学派称作象数派，主要通过伏羲卦图去探究人们趋吉避凶的心理，祈求掌控自然界的变化规律，其理论不乏神秘主义色彩。北宋的哲学家邵雍是象数派的集大成者，他独辟蹊径，绕开《易经》卦爻辞的羁绊，用深奥的术语和神秘的图式重新包装《易经》，创造性地绘制了《伏羲六十四卦次序图》和《伏羲先天六十四卦方位图》，简称次序图和先天图。次序图和先天图与之前的伏羲卦图最大的区别就是其按照二进制的序数排列。南宋理学大师朱熹的《周易本义》中载有这些卦图。需要指出的是，直到1687年，莱布尼茨所见到的各类伏羲卦图都是按照哲学意义排列的，没有凸显二进制的序数特征。
二、莱布尼茨真正认识伏羲卦图的过程
让莱布尼茨更多了解伏羲卦图的人是白晋。白晋是一位法国神父，做过康熙的数学老师，他奉康熙之命回欧洲招募科学人才，于1697年到达巴黎，在此作过一场关于易学的演讲，批评有人将《易经》看成迷信之书，称《易经》蕴涵了中国君主政体的奠基者伏羲的哲学思想，与柏拉图和亚里士多德一样合理而完美。不久，白晋读到莱布尼茨的《中国近事》一书，两人开始书信交往。他们留存下来的通信有十五封之多2，时间从1697年10月18日开始，其中有许多讨论二进制和伏羲卦图的内容。
1698年2月28日，白晋写信第一次向莱布尼茨介绍了伏羲卦图：“最初的汉字由虚线或实线构成，据说为伏羲所创。我认为已经找到了学习它的真正秘诀。柏应理神父在《中国哲学家孔子》的序言中将这些汉字列成了表格。”白晋提到的汉字列成的表格就是柏应理书中的伏羲卦图，还不是邵雍绘制的先天图，没有跟二进制联系起来。他认为这只是以简单自然的方法创造的汉字。
回到中国以后，白晋对《易经》有了更为清晰的认识。1700年11月８日，白晋从北京给莱布尼茨写去一封信，称伏羲是人类最早的法典制定者，伏羲卦图是中国文化最原始的符号，具有完备的形而上学体系，这些符号兼有算术和语言两种功能，表达思想的语言可以通过数学的精确性来分析。白晋特别谈到，在伏羲卦图中，如果用0替代虚线，用1替代实线，六十四卦就是完美的数。“《易经》中神秘的数与毕达哥拉斯、柏拉图和埃及犹太哲学中的数是相通的，都来自于造物主的神秘启示。”白晋精通象数理论，熟知中国用算筹表示数字的方式，与阴阳两爻重叠排列的形象很相近，自然联想到把卦图中的符号转换为数字。这时，白晋虽然把伏羲卦图与数字联系了起来，只是他还不懂得二进制算术，没有往二进制数上考虑。
莱布尼茨一直试图创立“通用字符”的思想，用特殊的符号表示一般的概念，让思维过程像几何推理一样，利用逻辑演算去发现和发明真理。莱布尼茨考虑的是伏羲卦图与“通用字符”的关系，因此，他也没有发现白晋转换过来的数字是二进制数，失去了一次发现伏羲卦图蕴涵着二进制的机会，使得一个重大的科学发现往后推迟了一段时间。
莱布尼茨于1701年2月15日给白晋回信，还在介绍“通用字符”的思想，他还提到了他发明的微积分和二进制。关于二进制，他向白晋解释道：“如同十进制使用从0到９这十个数字一样，只使用０和１这两个数字就够了。”信中提到了二进制的运算法则，列出了从０到31的二进制数表。莱布尼茨还建议白晋将二进制介绍给康熙。
莱布尼茨1701年2月15日致白晋信手稿
莱布尼茨之所以向白晋介绍二进制，是因为他刚成为法兰西皇家科学院的院士，他打算向科学院提交一篇关于二进制的论文《数字新科学论》，顺便把论文的内容就告诉了白晋。２月26日，莱布尼茨把论文投稿给科学院。4月30日，科学院的秘书长封丹纳尔(De Fontenelle)致信莱布尼茨，提出，由于论文中没有反映二进制的实用价值，故不能在科学院的刊物上发表。
其实，莱布尼茨始终在寻求二进制的实用价值。他曾经有用二进制原理制作计算器的设想，没有实现。他还试图把二进制引入神学领域，用二进制算术证明上帝的存在。在德国图灵根郭塔王宫图书馆里保存有一份莱布尼茨的手稿，标题是：“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物之神秘而美妙的典范，因为，一切都来自于上帝。”
1696年5月，莱布尼茨拜访汉诺威的奥古斯特（Ruddph August）公爵，在谈论神学文化时，他向公爵介绍了二进制算术。公爵认为，从神学的角度阐释二进制的意义，可以为上帝创世纪说提供科学的解释。1697年元旦，莱布尼茨给公爵写了一封信，详细阐述了二进制所蕴含的“从无到有”的创世纪思想。莱布尼茨在信中设计了一枚“创世图”纪念章，图案中有从０到16的二进制数表以及加法和乘法运算的例子，并写有“虚无诞生壹”和“壹创造一切”的文字。
1696年12月20日，莱布尼茨给清朝钦天监监正闵明我神父写信，详细介绍了二进制算术，列出了从0到31的二进制数表，举例说明了加法和乘法的运算法则。闵明我给康熙讲授过数学，莱布尼茨希望闵明我能把二进制教授给康熙,让康熙了解基督教文化的优越性。
莱布尼茨计的“创世图”纪念章
就在莱布尼茨写给白晋的这封信件中，也透露出了浓厚的神学情结。他写道，二进制的伟大之处在于模拟了上帝的造物过程。世界初始只有两种状态，上帝和虚无。上帝代表完美，虚无代表不完美。世界万物都是由上帝从虚无之中创造的。这个时候，莱布尼茨仍然不知道二进制与伏羲卦图之间的关系，而所谓二进制在神学上的应用并不适合写入科学的论文之中。
