莱布尼茨二进制论文的手稿
白晋从莱布尼茨的这封信件中学习到了二进制的知识，立刻就发现了二进制与先天图之间的关系，于1701年11月4日给莱布尼茨写信，随信寄去了一幅先天图，明确指出，只须把实线替换成1，把虚线替换成0，每一卦就对应一个二进制数，而且，先天图是按照二进制的序数排列的。正是白晋独具慧眼，揭开了蒙在伏羲卦图上的神秘面纱。信中写道：“您不应该把二进制视为一门新科学,因为中国的伏羲早都发明了。”
白晋寄给莱布尼茨的先天图
这封信于1703年 4月2日辗转到了莱布尼茨手中。他立即对先天图进行了研究，在每一卦上标注了对应的阿拉伯数字，确认卦图的排列与二进制序数是一致的。他完全赞同白晋的观点。作为二进制的一个实用例证，他将白晋的发现吸纳进二进制的论文之中，同时把先天图也收录其中,题为《论单纯使用0与1的二进制算术—兼论二进制用途以及古代中国伏羲符号的意义》，于1703年５月５日寄往法兰西皇家科学院，后来发表在了《1703年皇家科学院年鉴》上。
莱布尼茨1703年5月18日致白晋信手稿
莱布尼茨处理完论文以后，才给白晋复信，于5月18日寄出。莱布尼茨写道：“这张图乃是世界上最古老的科学文物，数千年来不为人们所理解，却与二进制算术如此吻合。当您向我解释这些符号时，我恰好向您介绍二进制算术，它们巧合得令人吃惊。如果我未曾发明二进制算术的话，哪怕对伏羲卦图再深入研究也未必能够理解。我在二十年前就开始思考二进制的问题，意识到用０和１表示的数更臻于完美，计算也非常简便。”因为之前的伏羲卦图都没有按照二进制序数排列，所以一直没有人发现这个秘密，而先天图是严格按照序数排列的，这才被白晋和莱布尼茨发现。所以，莱布尼茨产生质疑，传统的卦图为什么不像先天图那样，按照二进制的序数排列，他在信中问白晋，《中国哲学家孔子》中的伏羲卦图为什么与先天图不一样？
柏应理书中的六十四卦图
从此，莱布尼茨不再说自己发明了二进制，只是说他重新发现了伏羲的学问。他的《论中国人的自然哲学》中有一节“论中华帝国创始者伏羲的文字与二进制算术中所用的符号”，就是他和白晋通信内容的一个总结，代表了他们的共同观点。文中写道：
“我和白晋神父发现了这个帝国的奠基者伏羲所创造卦图的原本意义，它们由一些虚线和实线组成，共有六十四个符号，算是中国最古老的文字，也是最简单的文字。伏羲以后的几个世纪，周文王与其子周公以及再晚五个世纪的孔子，都在卦图里探寻过哲理，还有人要从中引申出风水和迷信之类的东西。其实，六十四卦图就是伟大的立法家伏羲创立的二进制算术，在几千年之后，由我重新发现了3。”
白晋在研究易学方面虽然颇有心得，但是，对易学领域还是缺乏深入的了解，他向莱布尼茨传达了很多错误的信息，把神话传说当作史料，对伏羲做了不实的赞誉，没有说明先天图是邵雍绘制的，让莱布尼茨误认为先天图是远古的文物。白晋甚至都没有告知阴爻和阳爻的名称，导致莱布尼茨在手稿中一直称阴爻为虚线，称阳爻为实线。
莱布尼茨不是神，他受白晋的影响，崇拜易学文化，导致他确信伏羲创立了二进制，而且不惜用溢美之词予以赞誉。不过，这倒反映了莱布尼茨没有掠人之美的念想，对自己发现二进制一事看得很淡。
三、伏羲卦图与二进制
殷商时期，中国已经有了比较完备的十进制计数法。根据人类文明发展史的常识，《周易》作为一部文明源头的著作，其内容和思想都处于文化的萌芽状态，书中的算术知识极为简单，根本没有二进制的内容。通读《周易》可知，所谓算术知识，无非也只是计数而已，那都是采用十进制表述的。易学里的伏羲卦图种类很多，有八卦图，也有六十四卦图。八卦图的排序一般具有对称性，六十四卦图则是根据卜筮之辞排序的。通行的《周易》和从长沙马王堆汉墓出土的帛书《周易》的排序不尽相同，但是，都没有按照二进制的序数排列。
易学研究领域有一种说法，阴爻和阳爻具有数字特征。从殷商出土的一些陶器、甲骨和竹简上留存的信息得知，阴爻是从偶数演变而来，阳爻是从奇数演变而来。这些符号形成以后，虽然凸显了其中的哲学意义，也残存了数字的模糊影像，因此，数学家们把《易经》和数学扯上了关系。始作俑者是魏晋时期的刘徽，他在《九章算术注》中写道：“昔者包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。”包牺氏是伏羲的别名。刘徽的观点影响了之后的数学家。北宋的秦九韶在《数书九章》中说：数学“爰自河图洛书，闿发秘奥，八卦九畴，错综精微，极而至于大衍皇极之用。”明朝的程大位在《算法统宗》中载有伏羲作卦图的插画，书中写道：“数何肇？其肇自图书乎！伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物成务。凡天官、地员、律历、兵赋以及纤悉杪忽，莫不有数，则莫不本于《易》。”
邵雍利用象数推演替代哲学思考，给人的感觉像在进行数学运算。他在《观物外篇》论述道：“有意必有言，有言必有象，有象必有数。数立则象生，象生则言著彰，言著彰则意显。象数则筌蹄也。”意思是说，思想可以用语言表达，语言可以用图象表达，图象可以用数字表达。反之亦然。所以，象数是表达思想的工具。这与莱布尼茨“通用字符”的思想颇为一致。
在邵雍绘制的先天图中，只要把阴爻当作0，把阳爻当作1，其排列与二进制的序数完全相同，这无疑是一个二进制的模型。但是，这个二进制的模型只是无心插柳柳成荫的结果，不能据此认为邵雍创立了二进制，只能说是数学思想把先天图统一到了二进制的理论系统之中。
数学发展史的常识告诉我们，任何一项数学成就的取得，无外乎两个原因，一是数学内部理论研究的进展，二是数学外部社会发展进步的要求。首先，邵雍并不是数学家，他在数学上没有任何建树，没有撰写过数学论著，也未见他与哪一个数学家有过学术交往。邵雍没有任何论述二进制的片言只语，他也根本不通晓二进制理论，他既没有明确界定和命名二进制的数学概念，也没有科学地表述二进制的重要性质和意义，更没有完善二进制与其它数学概念之间的逻辑关系。从邵雍的论著里，也看不出他具有超出常人的数学素养，邵雍创立二进制就像当今的“民科数学家”要解决哥德巴赫猜想一样，是绝对做不到的。不要说他，就是与他同时代的数学家们，也没有人涉猎过二进制的研究领域。卦图符号在《周易》里早已存在，宋代之前，《周易》和伏羲卦图中根本没有二进制的信息。邵雍在先天图里将这些符号重新进行排序，并不是主动按照二进制原理做的，只是碰巧排出了二进制数的顺序而已。所以，我们只能谨慎地说，先天图里生长着二进制的萌芽。
有人提出，邵雍说的“加一倍法”就是“逢二进一”法则，这完全是毫无根据的猜测。仅从词义上理解，它们也不是同一件事情。“加一倍法”是增加了一倍的意思，即乘以2，是指伏羲卦图的生成过程，上一层级的每一卦顺次增加一爻，则卦的个数将增加一倍。即“一分为二，二分为四，四分为八，八分为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四。故曰分阴分阳，迭用柔刚，易六位而成章也4。”这完全是十进制的说法，跟二进制的“逢二进一”没有任何关系。
从概念的原本意义考察，由阳爻和阴爻组成的卦图符号表示的是抽象的哲学事物，即使它们与数字有联系，也是十进制中的1—64，包括邵雍在内的宋元明清的易学家和数学家，没有一个人提出，可以用二进制数来表达。邵雍在绘制先天图的过程中，凡涉及到计数问题，都是用十进制去解决的。如说到八卦的排序，他的表述是：乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。如果邵雍懂得二进制原理，那么卦图符号的顺序就会很清晰，不需要借助任何方法，就很容易被人记忆，但是，直到南宋，朱熹还根据八卦符号的直观形象编写了记忆口诀：乾三连（☰），坤六断（☷），震仰盂（☳），艮覆碗（☶），离中虚（☲），坎中满（☵），兑上缺（☱），巽下短（☴）。这从一个侧面反映出邵雍和朱熹都没有意识到先天图与二进制之间的密切关系。清朝乾嘉年间，有一位著名的数学家汪莱，他的《参两算经》是专门论述进位制理论的著作，他也没有指出先天图就是二进制。
那么，先天图怎么恰巧就与二进制的序数相同的呢？这个问题困惑了许多人，甚至有学者用概率论的方法解读认为，64个元素总共有64！种排列方法，要在这天文数字的排列中找到与二进制数的顺序完全相同的一个，这几乎就是不可能事件啊！进而得出，如果邵雍不是熟知二进制原理，他怎么就能够找到这一个排列呢？
其实，先天图和二进制都是由两个基本符号表示的，这其实就是元素可重复排列的组合问题。从2种符号中每次取3个,排成一排，共有23=8种排法，得到《周易》里的八卦和二进制里的前八个数。从2种符号中每次取6个,排成一排，共有26=64种排法，得到《周易》里的六十四卦和二进制里的前六十四个数。
先天图中的卦序与二进制的序数相同，其实是一个必然事件。邵雍并不需要懂得二进制知识，二进制不是绘制先天图的必要条件。事实是邵雍创造性地运用了另外一个数学方法，用“树图”自然而然地生成了一棵二进制的“数学树”，这就是《伏羲六十四卦次序图》。
