伏羲六十四卦次序图
邵雍按照“树图”的画法，把阴爻画成黑色，把阳爻画成白色。先有太极，由下而上，按照“加一倍法”，先画阴爻，后画阳爻，相间画去。由太极依次生成两仪、四象、八卦、十六卦、三十二卦和六十四卦，最终成为六十四卦次序图，这个次序图可以无限绘制下去。由于次序图是严格按照“树图”方法生成的，由下往上读取，就形成了六十四个卦图符号。从左边的坤卦按顺序直到右边的乾卦，自然就满足了二进制前六十四个数的顺序。
明白了次序图的结构，就很容易绘制出先天图。先看它外部的圆图，只要把右半圆周拉直，就是次序图对称轴左边的部分。把左半圆周拉直，就是次序图对称轴右边的部分。再看内部的方图，规律更加明显，只须将次序图中每一卦按照从左到右的顺序，每八个为一段，依次排成八行。需要说明的是，这样构造出来的先天图仍然保持了对称性，只是把次序图中的轴对称变成了中心对称而已。用数学方法很容易证明，在圆图中，关于圆心对称的两个卦在次序图中也是对称的。在方图中，关于圆心对称的两个卦在次序图中也是对称的。
由于先天图与二进制在代数上是同构的，先天图的顺序和对称结构也不再是秘密，这就很容易理解，二进制算术里的数学性质，一般来说，也都可以拓展到先天图里。这并不代表邵雍在那个年代发现了诸多的现代数学知识，而是数学思想统一了先天图中所蕴含的朴素的二进制因素。
四、莱布尼茨与二进制
莱布尼茨1703年5月18日致白晋的信中提到，他在二十多年前就发明了二进制，那正是他在巴黎创立微积分的时期。莱布尼茨在1707年12月15日致布尔盖(D.Bourguet)的信中提到：“当初我创立二进制算术时，对《易经》的卦图并不是很了解。”莱布尼茨有一份手稿《二进制算术的阐释》，写作时间是1679年3月15日，一直没有发表，被搁置了二十多年。
但凡数学上的创新和发现，都是循着前人开辟的道路进行的，在超越前人的过程中，并不能保证可以眷顾到所有具有启迪性的思想成果。莱布尼茨在发明二进制之前，只是从卫匡国的《中国上古史》和斯比塞尔的《中国文史评析》上间接地了解《易经》，这些文献都不是数学著作，虽然卫匡国称《易经》是数学著作，也只是一种臆测。莱布尼茨所见到的伏羲卦图不是邵雍绘制的先天图，卦图的顺序是按照哲学理念排列的，没有按照二进制的顺序排列。莱布尼茨的学术兴趣是发展“通用字符”的思想，他关心的是卦图符号的语言和逻辑意义，压根儿没有从数学角度去考虑问题，所以，莱布尼茨在易学文献中无从获悉二进制的信息。如果莱布尼茨在见到伏羲卦图时就受到启发，他的二进制论文早就提前二十多年就发表了。
另外，有人说斯比塞尔著作中在介绍伏羲卦图时提到的短语“binarium multiplicatis”是二进制的意思，莱布尼茨由此受到启发。这是不顾历史事实的臆测。斯比塞尔写作这部著作的时候，二进制的概念还没有被明确提出。“二进制”一词是被莱布尼茨引入学术界的，当时，他还没有思考二进制的问题。斯比塞尔不是数学家，他无从知道什么是二进制。这个短语也不是二进制的意思，而是指2的乘方，是说伏羲卦图产生的方式。
其实，莱布尼茨发现二进制的契机很简单，完全就是水到渠成，一蹴而就的结果。从数学认知的规律考虑，具备数学基本素养的人只要熟悉了进位制理论，提出任何进位制都是平凡的推论。事实上，任何一个比1大的自然数都可以作为一种进位制的基数，理论上可以构造出无穷多种进位制，这在数学上是一个极为简单的常识。
莱布尼茨1663年暑假去到耶拿大学学习数学，老师是魏格留斯(Erhard Weigel)教授。魏格留斯对古希腊的数学思想研究颇有心得，崇尚毕达哥拉斯和柏拉图的数学观，认为物质世界的和谐符合数学法则。莱布尼茨深受老师思想的启迪。1672年，魏格留斯在耶拿大学的学刊《Joham Meyer》上发表了《圣十结构》一文，系统地提出了四进制的概念，用0、1、2、3来表示所有的数，“满三进一”，象征着“三”是完满。不久，莱布尼茨写出《二进制算术的阐释》手稿。毫无疑问，莱布尼茨无论是从老师的课堂上或者从老师的论文里，熟知进位制理论是没有疑义的。
从莱布尼茨的《论中国人的自然哲学》中我们知道，莱布尼茨非常熟悉进位制的历史，他提到，古罗马人曾经使用混合五进制和十进制的算术，提到历史上出现过四进制和十二进制，他明确地写道：正是魏格留斯的四进制，“给了我一个机会，提出一切数都可以用二进制的0和1写出。”
由此可知，莱布尼茨发明二进制是受到他老师的启发，与伏羲卦图没有关系。有人诟病莱布尼茨，质疑他有意掩饰受到伏羲卦图启发而发现二进制，是没有事实依据的。莱布尼茨从来没有把二进制的发明权据为己有。他反而大力吹捧是伏羲早在他四千年前就发明了二进制，他还把这个重大发现归功于白晋。
事实上，各种进位制的计数方式早已存在于人类的社会活动之中了。在世界文明的发源地，古巴比伦人第一个发明了位值制，使用过六十进制，玛雅人使用过二十进制，中国独自发明了位值制，是最早使用十进制的。商代甲骨卜辞中就有了1—9的数码和位值制的记数法，战国时期出现了十进制的筹算记数，以空代表0，非常先进。太平洋上的芒阿雷瓦岛的部落早在1450年之前就在使用二进制，至今，波利尼西亚和澳大利亚的有些土著居民还在使用二进制5，其实，数学家的所谓发明，也就是把人类世俗生活中的计数方法进行了数学化的处理，所以，发明二进制谈不上是什么了不起的数学成果。
其实与莱布尼茨同时代的数学家洛布克威兹(Y.Lobkowitz)在1670年出版的《双面数学》中，也有讨论十二进制和二进制的内容。莱布尼茨也许不知道，在莎士比亚那个时代，英国有一位才华横溢的数学家哈里奥特6(Thomas Harriot)，他遗存的手稿里有大量数学和物理原创性的成果。因为当时没有科学类期刊，这些成果无处发表。哈里奥特1603年的手稿《数学计算与注解》中，就有详细论述二进制算术的内容，理论结构几乎与莱布尼茨的相同，用0和１作为基本计数符号，命名二进制为Binary numeration，提出了加减法以及乘法运算法则，还讨论了用连分数的形式表示二进制的相关问题。
注释
1、胡阳、李长铎 《莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考》 上海 上海人民出版社 2006 年
2、见R.Widmaier编：《Leibniz korrespondiert mit China: Der Briefwechsel mit den Jesuitenmissionaren (1689—1714)》 Frankfurt am Main:Klostermann. 1990
3、陈乐民主编 莱布尼兹读本 南京 江苏教育出版社 2005年11月
4、邵雍 《皇极经世书》 郑州 中州古籍出版社 2007年1月
5、见巴什玛柯娃等编 刘绍祖译 《初等数学全书（第一卷）算术（第一分册）》 北京 高等教育出版社1959年6月
6、哈里奥特的事迹见Robyn Arianrhod 《Thomas Harriot: A Life In Science》 Cambridge University Press 2019年
