三元均值不等式公式 对于x＞0、y＞0、z＞0，有(x＋y＋z)/3≥³√xyz，当且仅当x＝y＝z时等号成立。 1.三元均值不等式的代数证明，首先因式分解结合完全平方的非负性证明x^3+y^3+z^3≥3xyz，之后把x^3写成x，x写成x^(1/3)即是结论(x＋y＋z)/3≥³√xyz；
2.三元均值不等式的描述为：三个正数的算术平均值大于等于其几何平均值，当且仅当三个数相等的时候等号成立.
由于 x^2 在 (0,+infty) 上是凸函数，依 ext{Jensen} 不等式，成立 frac{a^2+b^2+c^2}{3}ge left(frac{a+b+c}{3} ight)^2,\ 两边开方即得 ext{QM}ge ext{AM}.
由于 ln x 在 (0,+infty) 上是凹函数，依 ext{Jensen} 不等式，成立 lnleft(frac{a+b+c}{3} ight)gefrac{ln a+ln b+ln c}{3}=lnsqrt[3]{abc},\ 两边取指数即得 ext{AM}ge ext{GM}.
由于 ln x 在 (0,+infty) 上是凹函数，依 ext{Jensen} 不等式，成立 lnleft(frac{frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}}{3} ight)gefrac{ln frac{1}{a}+ln frac{1}{b}+ln frac{1}{c}}{3}=-lnsqrt[3]{abc},\乘上负号再取指数即得 ext{GM}ge ext{HM}. 但事实上，只要对 frac{1}{a},frac{1}{b},frac{1}{c} 运用 ext{AM-GM} 不等式即可。
