一．概念描述
现代数学：带余除法，亦称有余除法、不能整除的除法。已知两个数a、b（a是整数，b是正整数），要求两个整数q，r，使q，r满足以下条件：a=bq r(0≤r<b)，则a被称为被除数，b被称为除数，q被称为不完全商（简称商），r被称为余数；当r=0时，称a被b整除，记为b l a，此时称b为a的因数或约数，a为b的倍数。在带余除法里，商（或不完全商）和余数（可能为0）都是唯一存在的。
小学数学：小学数学教材对此没有明确的定义，主要是通过分物品使学生了解到：平均分物品时，有时会出现有剩余的情况，这种情况也可以用除法来表示。分剩下的数在除法算式里叫“余数”，这样的除法是“有余数的除法”，进而理解有余数除法的含义。
二．概念解读
(1)余数的产生
“余数”是在“平均分物品”时出现剩余而产生的。随着数学研究的深入，“余数”的概念也有所发展和推广。
很久很久以前，人们以狩猎为生，可是有时猎物很少，必须把食物平均分开，否则，有人就会饿死。但是在分食物的时候，人们经常发现：每个人分到相同数量的食物以后，还会剩下一些，可是这些食物又不够再分一次，于是这就启发了后来的人们认识到数学除法运算中的余数。可见，“余数”是在人们的生活实践中自然产生的。
(2)“有余数除法”的地位与作用
在小学阶段，学生学习有余数除法， 一方面可以为后续的“一位数除多位数的除法”打下基础：另一方面，可以解决生活中与余数有关的实际问题。比如，解决周期问题（如学校开运动会，操场四周按“黄、红、绿、蓝”的顺序插彩旗，第15面旗子是什么颜色？）、买东西问题（如用40元钱买书，每本6元，最多可以买几本？）、租船问题（如25人要划船，每船限乘4人，至少要租几条船，）等。在解决问题的过程中，学生可以感受到数学与生活的联系。
“有余数的除法”不仅可以解决生活中与余数有关的实际问题，而且它也是研究整数性质的有力工具。整数理论就是在带余除法的基础上建立超来的。
随着数学更深入地发展，“带余除法”的概念推广到多项式的“带余除法”：对一元多项式环P(x)中任意两个多项式f (x)和g(x)≠0，一定存在P (x)中的多项式q(x)和r(x)，使f(x)=g(x)
q(x) r(x)。式中r(x)=0或r(x)的次数小于g (x)的次数，并且q(x)与r (x)是唯一确定的，q(x)称为g(x)除除f(x)的商式，r (x)称为g(x)除f(x)的余式，g(x)称为除式，f(x)称为被除式；当r(x)=0时，称g(z)除尽f(x)。对已给多项式f (x)，g(x)≠0，求商式q (x)与余式r(x)的方法称为带余除法。
从“带余除法”概念的发展与推广，可以看出“带余除法”是很重要的概念，是解决问题和进行理论研究的有力工具。
三．教学建议
(1)借助直观材料，丰富学生感知，促进理解“余数”含义
小学阶段，学生对于“余数”的认识，是借助于现实生活中“平均分物品时出现剩余”这一现实原型来学习的，因此，在教学中教师应该注意安排学生的动手操作和观察思考的活动，让学生在实践操作中充分感知，理解有余除法的意义。理解“余数必须比除数小”是学生认识上的难点。如果突破这一难点？陆友娉老师介绍了“妙用一捆小棒，从两个维度实现认知的突破”的案例。教师先让学生用一捆小棒搭正方形，发现余数总在1，2，3之间变化，完成了纵向探究（不同的数据对不同除数的探究）；然让学生再猜想、验证用一拥小棒搭三角形、五边形，余数课能是几，进行横向探究（不同的数据对不同除数的探究）；同时还要让学生举例说明“余数为什么不能等于或大于除数”。在丰富的感性材料的支撑下，学生再概括“余数必须比除数小”就水到渠成了。其实，不管采取什么方式突破这一难点，都要借助直观材料的支撑。
(2)积累活动经验，讲出心中故事，内化所学知识
理解了有余数除法的意义，还要会解决与余数有关的实际问题。在解决实际问题时，如何根据具体情况处理余数的问题是关键---什么情况下要考虑余数，用“进一法”得到结果？什么情况下不考虑余数，用“去尾法”得到结果？学生对此理解有一定的难度。关于如何让学生理解这些知识，李玲老师的做法很好。李老师在“用有余数的除法解决问题”一课中，引导学生解决这样一个问题：一辆车运送36名同学回学校，每次送5名同学，至少需要送几次？学生都会列算式36-5=7（次）……1（人），但是对至少送几次学生的意见不一致：有的认为是7次，有的认为是8次。那到底是几次呢？学生通过在点子图上圈一圈、现场模拟、头脑中“过电影”等方式理解为什么送8次。之后，李老师又让学生解决这样一道题：每瓶矿泉水5元，36元钱最多可以买几瓶？学生也列出了算式36-5=7（瓶）……1（元），进而通过交流，学生理解了最多买7瓶。然后通过进一步的练习，学生理解了什么情况下用“进一法”得到结果，什么情况下用“去尾法”得到结果。这些活动有利于学生积累解决问题的经验、积累思维活动的经验、积累与同伴交流的经验，有利于学生理解所学知识。为了帮助学生更好地理解如何利用余数处理问题，教师还可以设计“讲故事”的练习，如根据“13÷4=3……1”讲一个故事。在讲故事的过程中，学生就把数学与生活建立起联系，而这就是在内化自己的学习成果，就是在展现自己的学习效果。这种形式的练习，不仅可以促进学生内化所学知识，也有利于教师读懂学生。有了生活经验的支撑，当学生又能用生活中的情境解释这个算式时，他就真的明白了。
四．推荐阅读
《一捆小棒的妙用》（陆友娉，《小学数学教师》，2010年第1-2期）
该文就如何利用小棒让学生“理解余数必须比除数小”进行了详细的介绍，对广大一线教师有一定的指导意义。
