一、基础代数公式
1. 平方差公式:(a+b)·(a-b)=a2-b2
2. 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
3. 完全立方公式:(a±b)3=(a±b)(a2ab b2)
4. 立方和差公式:a3 b3=(ab)(a2 ab b2)
5. am·an=am+n am÷an=am-n (am)n=amn (ab)n=an·bn
二、等差数列
(1)sn ==na1 n(n-1)d;
(2)an=a1+(n-1)d;
(3)项数n =+1;
(4)若a,A,b成等差数列,则:2A=a b;
(5)若m n=k i,则:am an=ak ai ;
(6)前n个奇数:1,3,5,7,9,…(2n—1)之和为n2
(其中:n为项数,a1为首项,an为末项,d为公差,sn为等差数列前n项的和)
三、等比数列
(1)an=a1qn-1;
(2)sn =(q1)
(3)若a,G,b成等比数列,则:G2=ab;
(4)若m n=k i,则:am·an=ak·ai ;
(5)am-an=(m-n)d
(6)=q(m-n)
(其中:n为项数,a1为首项,an为末项,q为公比,sn为等比数列前n项的和)
四、不等式
(1)一元二次方程求根公式:ax2 bx c=a(x-x1)(x-x2)
其中:x1=;x2=(b2-4ac0)
根与系数的关系:x1 x2=-,x1·x2=
(2)
(3)
推广:
(4)一阶导为零法:连续可导函数,在其内部取得最大值或最小值时,其导数为零。
(5)两项分母列项公式:=(—)×
三项分母裂项公式:=[—]×
五、基础几何公式
1.面积公式:
正方形= 长方形= 三角形= 梯形=
圆形=R2 平行四边形= 扇形=R2
2.表面积:
正方体=6 长方体= 圆柱体=2πr2+2πrh 球的表面积=4R2
3.体积公式
正方体= 长方体= 圆柱体=Sh=πr2h 圆锥=πr2h 球=
4.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积:S侧=πr;
5.图形等比缩放型:
一个几何图形,若其尺度变为原来的m倍,则:
1.所有对应角度不发生变化;
2.所有对应长度变为原来的m倍;
3.所有对应面积变为原来的m2倍;
4.所有对应体积变为原来的m3倍。
6.几何最值型:
1.平面图形中,若周长一定,越接近与圆,面积越大。
2.平面图形中,若面积一定,越接近于圆,周长越小。
3.立体图形中,若表面积一定,越接近于球,体积越大。
4.立体图形中,若体积一定,越接近于球,表面积越大。
六、工程问题
工作量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作量÷工作时间;
工作时间=工作量÷工作效率; 总工作量=各分工作量之和;
注:在解决实际问题时,常设总工作量为1或最小公倍数
七、几何边端问题
(1)方阵问题:
1.实心方阵:方阵总人数=(最外层每边人数)2=(外圈人数÷4 1)2=N2
最外层人数=(最外层每边人数-1)×4
2.空心方阵:方阵总人数=(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2
=(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
★无论是方阵还是长方阵:相邻两圈的人数都满足:外圈比内圈多8人。
3.N边行每边有a人,则一共有N(a-1)人。
4.实心长方阵:总人数=M×N 外圈人数=2M 2N-4
5.方阵:总人数=N2 外圈人数=4N-4
例:有一个3层的中空方阵,最外层有10人,问全阵有多少人? 解:(10-3)×3×4=84(人)
(2)排队型:假设队伍有N人,A排在第M位;则其前面有(M-1)人,后面有(N-M)人
(3)爬楼型:从地面爬到第N层楼要爬(N-1)楼,从第N层爬到第M层要怕层。
八、利润问题
(1)利润=销售价(卖出价)-成本;
利润率===-1;
销售价=成本×(1+利润率);成本=。
(2)利息=本金×利率×时期;
本金=本利和÷(1 利率×时期)。
本利和=本金+利息=本金×(1 利率×时期)=;
月利率=年利率÷12; 月利率×12=年利率。
例:某人存款2400元,存期3年,月利率为10.2‰(即月利1分零2毫),三年到期后,本利和共是多少元?”
2400×(1 10.2%×36) =2400×1.3672 =3281.28(元)
九、排列组合
(1)排列公式:P=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),(m≤n)。
(2)组合公式:C=P÷P=(规定=1)。
(3)错位排列(装错信封)问题:D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44,D6=265,
(4)N人排成一圈有/N种; N枚珍珠串成一串有/2种。
十、年龄问题
关键是年龄差不变;①几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
②几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
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